Exercício 02: Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais lineares de ordem superior:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede: encontrar uma solução geral (isto é, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).
Informações relevantes dadas: a equação é homogênea e envolve derivadas até a terceira ordem. Nada mais é fornecido (condições iniciais não foram dadas), portanto buscamos a solução geral com três constantes arbitrárias.
Informações relevantes dadas: a equação é homogênea e envolve derivadas até a terceira ordem. Nada mais é fornecido (condições iniciais não foram dadas), portanto buscamos a solução geral com três constantes arbitrárias.
Passo 2
Idéia do método (explicação passo a passo como fazer na prova). Uma técnica muito prática quando as derivadas aparecem com coeficientes constantes é tentar soluções da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por quê? Porque derivando
cada vez multiplicamos por
:
,
,
. Assim, ao substituir na equação,
aparece em todos os termos e pode ser fatorado, sobrando uma equação apenas em
(chamada equação característica). Essa é a regra que se usa para equações homogêneas de coeficientes constantes: raízes distintas da equação característica geram soluções independentes
.
Passo 3
Substituindo
na equação dada e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Agora resolvemos essa equação algébrica. Fatorando:
Portanto as raízes são
Passo 4
Cada uma dessas raízes dá uma solução da equação diferencial da forma
:
- Para
vem a solução (uma constante). - Para
vem a solução . - Para
vem a solução .
Como as três raízes são distintas, as três soluções
são linearmente independentes e a solução geral da equação (combinação linear das soluções independentes) tem três constantes arbitrárias:
onde
são constantes reais (ou complexas, conforme o contexto).
Passo 5
Checagem rápida (como verificar na prova): calcule as derivadas de
e veja que a equação é satisfeita.
Começando de
Começando de
temos
Então
confirmando que a expressão encontrada satisfaz a equação.
Passo 6
Comentário final e alternativa curta (útil na prova se esquecer da técnica característica): pode-se também fazer a substituição
. A equação original fica
, que é de segunda ordem com solução
. Integrando
obtemos
, que, renomeando constantes, é a mesma solução geral encontrada antes. Essa rota é útil quando dá para reduzir a ordem por diferenciação/substituição.