Exercício 02: Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais lineares de ordem superior:
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime}=0
e pede: encontrar uma solução geral (isto é, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).
Informações relevantes dadas: a equação é homogênea e envolve derivadas até a terceira ordem. Nada mais é fornecido (condições iniciais não foram dadas), portanto buscamos a solução geral com três constantes arbitrárias.

Passo 2

Idéia do método (explicação passo a passo como fazer na prova). Uma técnica muito prática quando as derivadas aparecem com coeficientes constantes é tentar soluções da forma
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Por quê? Porque derivando e^{r x} cada vez multiplicamos por r: y' = r e^{r x}, y'' = r^2 e^{r x}, y''' = r^3 e^{r x}. Assim, ao substituir na equação, e^{r x} aparece em todos os termos e pode ser fatorado, sobrando uma equação apenas em r (chamada equação característica). Essa é a regra que se usa para equações homogêneas de coeficientes constantes: raízes distintas da equação característica geram soluções independentes e^{r x}.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} na equação dada e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^3 - r = 0.
Agora resolvemos essa equação algébrica. Fatorando:
r^3 - r = r(r^2-1)=r(r-1)(r+1)=0.
Portanto as raízes são
r=0,\quad r=1,\quad r=-1.

Passo 4

Cada uma dessas raízes dá uma solução da equação diferencial da forma e^{r x}:
  • Para r=0 vem a solução \;e^{0x}=1\; (uma constante).
  • Para r=1 vem a solução \;e^{x}.
  • Para r=-1 vem a solução \;e^{-x}.
Como as três raízes são distintas, as três soluções \;1,\;e^{x},\;e^{-x}\; são linearmente independentes e a solução geral da equação (combinação linear das soluções independentes) tem três constantes arbitrárias:
y(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}e^{x} + C_{3}e^{-x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais (ou complexas, conforme o contexto).

Passo 5

Checagem rápida (como verificar na prova): calcule as derivadas de y e veja que a equação é satisfeita.
Começando de
y = C_{1} + C_{2}e^{x} + C_{3}e^{-x},
temos
y' = C_{2}e^{x} - C_{3}e^{-x},
y'' = C_{2}e^{x} + C_{3}e^{-x},
y''' = C_{2}e^{x} - C_{3}e^{-x}.
Então
y'''-y' = \bigl(C_{2}e^{x} - C_{3}e^{-x}\bigr) - \bigl(C_{2}e^{x} - C_{3}e^{-x}\bigr)=0,
confirmando que a expressão encontrada satisfaz a equação.

Passo 6

Comentário final e alternativa curta (útil na prova se esquecer da técnica característica): pode-se também fazer a substituição z=y'. A equação original fica z''-z=0, que é de segunda ordem com solução z=Ae^{x}+Be^{-x}. Integrando z=y' obtemos y=Ae^{x}-Be^{-x}+C, que, renomeando constantes, é a mesma solução geral encontrada antes. Essa rota é útil quando dá para reduzir a ordem por diferenciação/substituição.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}+C_{3}e^{-x}

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