a) [0.25 \mathrm{pt}] Encontre a equação característica da matriz A.
b) [1 pt] Sabendo que um dos autovalores vale \lambda=2, encontre os outros autovalores da matriz A.
c) [1 \mathrm{pt}] Encontre bases dos autoespaços da matriz A.
d) [0.25 \mathrm{pt}] \mathrm{A} partir dos resultados anteriores, a matriz A é diagonalizável?
(1)
Vou calcular o determinante expandindo pela primeira linha (regra de Sarrus não vale para 3\times3 de forma direta aqui, então uso expansão por cofatores):
Faço a expansão com calma: primeiro (5-\lambda)(1-\lambda)=5-6\lambda+\lambda^2. Multiplicando por -\lambda dá -5\lambda+6\lambda^2-\lambda^3. Somando 8-7\lambda obtemos
Agora uso o fato dado de que \lambda=2 é raiz. Verifico se \lambda=2 é raiz múltipla: observo que o polinômio encontrado é exatamente a expansão de (\lambda-2)^3, porque
Portanto todos os autovalores são \lambda=2 com multiplicidade algébrica igual a 3.
Passo 4
Agora vamos encontrar os autoespaços, ou seja, resolver [(A-\lambda I)v=0) para cada autovalor. Como o único autovalor é \lambda=2, precisamos do núcleo de A-2I.
Verifico a terceira equação para consistência: substituindo y=x\] e \(z=-3x em -7x+y-2z obtém-se -7x+x-2(-3x)= -6x+6x=0, ou seja, é redundante (não impõe nova condição).
Isto mostra que o autoespaço associado a \lambda=2 tem dimensão 1 e uma base é formada pelo vetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Comentário didático rápido: a multiplicidade algébrica de \lambda=2 é 3 (porque (\lambda-2)^3), mas a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço, isto é, o número de autovetores linearmente independentes associados ao autovalor) é 1. Isso é importante para diagonalização.]
Passo 5
Condição de diagonalizabilidade (explicação curta): uma matriz n\times n é diagonalizável se e somente se, para cada autovalor, a soma das dimensões dos autoespaços (ou seja, a soma das multiplicidades geométricas) é n. Equivalentemente, precisa haver n autovetores linearmente independentes. Para um autovalor com multiplicidade algébrica m, sua multiplicidade geométrica é sempre entre 1 e m. Se para algum autovalor a multiplicidade geométrica for menor que a algébrica, não conseguimos juntar n autovetores e a matriz não é diagonalizável.
No nosso caso temos n=3, o único autovalor é \lambda=2 com multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 1. Logo não existem 3 autovetores independentes; portanto A não é diagonalizável.