As superfícies de nível da função
podem ser descritas como uma família de
hiperboloides de uma folha.
paraboloides hiperbólicos.
planos.
cones.
esferas.
cilindros.
paraboloides elípticos.
elipsoides.
hiperboloides de duas folhas.
hiperboloides de uma folha.
paraboloides hiperbólicos.
planos.
cones.
esferas.
cilindros.
paraboloides elípticos.
elipsoides.
hiperboloides de duas folhas.
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das alternativas descreve as superfícies de nível da função
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Uma superfície de nível associada a um valor
é o conjunto de pontos tais que . - Logo, as superfícies de nível são os conjuntos definidos por
para diferentes valores reais de
.
- As alternativas possíveis incluem tipos clássicos de quadricas: hiperboloides, paraboloides, planos, cones, esferas, cilindros, elipsoides, etc.
Passo 2
O que significa escrever a equação de nível explicitamente. Para um número real fixo
, a superfície de nível é
Vou analisar essa equação para diferentes sinais de
e ver a forma geométrica que ela representa. Também é importante notar que a variável
não aparece na equação: isso já é uma pista sobre simetrias na direção
.
Passo 3
Caso
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
Isto tem a forma canônica de uma elipse no plano das coordenadas
e
:
onde
e
. Ou seja, para cada
a interseção com um plano de equação
constante é uma elipse. Como a equação não envolve
, para cada valor dessa elipse todos os valores de
são permitidos — portanto o conjunto de pontos é a elipse “estendida” ao longo do eixo
, isto é, um cilindro cujo eixo é paralelo ao eixo
e com seção transversal elíptica. Em termos usuais: um cilindro elíptico (ou “cilindro” com seção elíptica).
Passo 4
Caso
. A equação fica
Como
e
, a soma só pode ser zero se
e
. Então o conjunto é
ou seja, a reta ao longo do eixo
. Esse é o caso degenerado do cilindro (seção elíptica de raio zero).
Passo 5
Caso
. A equação
não tem solução real, porque o lado esquerdo é não negativo para todos
. Logo, para
a superfície de nível é o conjunto vazio.
Passo 6
Por que isso não é outro tipo de quadric. Resumindo e comparando com opções:
- Não é uma esfera nem um elipsoide porque essas superfícies seriam fechadas e envolveriam também
(teriam dependência quadrática em todas as três coordenadas) — aqui é livre. - Não é um paraboloide porque paraboloides têm termos mistos de grau 2 com termos lineares em outra variável (por exemplo
ou ), não apenas soma de quadrados igual a constante. - Não é cone nem hiperboloide porque esses envolvem sinais mistas ou termos em todas as variáveis que tornam a superfície não translacionalmente invariante numa direção; aqui falta
. - A característica decisiva: dependência apenas de
e quadrática com coeficientes positivos e independência de implica que cada nível positivo é uma elipse em estendida livremente em — isto é, um cilindro elíptico.
Passo 7
Conclusão final: para
as superfícies de nível são cilindros de seção elíptica (e para
reduz-se à reta
-axis; para
não há pontos). Portanto a alternativa correta é “cilindros”.
Resposta
cilindros.