As superfícies de nível da função f(x, y, z)=2 y^{2}+5 z^{2} podem ser descritas como uma família de \square
hiperboloides de uma folha.
paraboloides hiperbólicos.
planos.
cones.
esferas.
cilindros.
paraboloides elípticos.
elipsoides.
hiperboloides de duas folhas.

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das alternativas descreve as superfícies de nível da função f(x,y,z)=2y^{2}+5z^{2}. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y,z)=2y^{2}+5z^{2}.
  • Uma superfície de nível associada a um valor c é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que f(x,y,z)=c.
  • Logo, as superfícies de nível são os conjuntos definidos por
2y^{2}+5z^{2}=c,
para diferentes valores reais de c.
  • As alternativas possíveis incluem tipos clássicos de quadricas: hiperboloides, paraboloides, planos, cones, esferas, cilindros, elipsoides, etc.

Passo 2

O que significa escrever a equação de nível explicitamente. Para um número real fixo c, a superfície de nível é
2y^{2}+5z^{2}=c.
Vou analisar essa equação para diferentes sinais de c e ver a forma geométrica que ela representa. Também é importante notar que a variável x não aparece na equação: isso já é uma pista sobre simetrias na direção x.

Passo 3

Caso c>0. Dividindo ambos os lados por c obtemos
\frac{y^{2}}{c/2}+\frac{z^{2}}{c/5}=1.
Isto tem a forma canônica de uma elipse no plano das coordenadas y e z:
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1,
onde a^{2}=c/2 e b^{2}=c/5. Ou seja, para cada c>0 a interseção com um plano de equação x= constante é uma elipse. Como a equação não envolve x, para cada valor dessa elipse todos os valores de x são permitidos — portanto o conjunto de pontos é a elipse “estendida” ao longo do eixo x, isto é, um cilindro cujo eixo é paralelo ao eixo x e com seção transversal elíptica. Em termos usuais: um cilindro elíptico (ou “cilindro” com seção elíptica).

Passo 4

Caso c=0. A equação fica
2y^{2}+5z^{2}=0.
Como y^{2}\ge 0 e z^{2}\ge 0, a soma só pode ser zero se y=0 e z=0. Então o conjunto é
\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
ou seja, a reta ao longo do eixo x. Esse é o caso degenerado do cilindro (seção elíptica de raio zero).

Passo 5

Caso c<0. A equação
2y^{2}+5z^{2}=c<0
não tem solução real, porque o lado esquerdo é não negativo para todos y,z. Logo, para c<0 a superfície de nível é o conjunto vazio.

Passo 6

Por que isso não é outro tipo de quadric. Resumindo e comparando com opções:
  • Não é uma esfera nem um elipsoide porque essas superfícies seriam fechadas e envolveriam também x^{2} (teriam dependência quadrática em todas as três coordenadas) — aqui x é livre.
  • Não é um paraboloide porque paraboloides têm termos mistos de grau 2 com termos lineares em outra variável (por exemplo z=x^{2}+y^{2} ou z=x^{2}-y^{2}), não apenas soma de quadrados igual a constante.
  • Não é cone nem hiperboloide porque esses envolvem sinais mistas ou termos em todas as variáveis que tornam a superfície não translacionalmente invariante numa direção; aqui falta x.
  • A característica decisiva: dependência apenas de y e z quadrática com coeficientes positivos e independência de x implica que cada nível positivo é uma elipse em y,z estendida livremente em x — isto é, um cilindro elíptico.

Passo 7

Conclusão final: para c>0 as superfícies de nível são cilindros de seção elíptica (e para c=0 reduz-se à reta x-axis; para c<0 não há pontos). Portanto a alternativa correta é “cilindros”.

Resposta

cilindros.

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