Exercício 02
Sob que condições o campo de velocidades
V=(a1 x++b1 y++c1 z) i+(a2 x+b2 y+c2 z) j+(a3 x+b3 y+c3 z) k, onde a1, b1, etc. = const., representa um escoamento incompressível no qual a massa específica se conserva?

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer aqui. Temos um campo de velocidades dado por:
V = (a1 x + b1 y + c1 z) i + (a2 x + b2 y + c2 z) j + (a3 x + b3 y + c3 z) k
Queremos descobrir sob quais condições esse campo representa um escoamento incompressível, ou seja, quando a massa se conserva. Para isso, vamos precisar entender o que significa um escoamento incompressível e usar o conceito de divergência de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre escoamento incompressível. Em termos simples, isso significa que o volume do fluido não muda enquanto ele se move; a densidade permanece constante. Matematicamente, isso é traduzido pela condição de que a divergência do campo de velocidades seja igual a zero.
A divergência de um campo vetorial V = Vx i + Vy j + Vz k é dada por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Então, para que o escoamento seja incompressível, precisamos que:
nabla cdot V = 0

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo de velocidades dado. Primeiro, identificamos as componentes Vx, Vy e Vz:
Vx = a1 x + b1 y + c1 z
Vy = a2 x + b2 y + c2 z
Vz = a3 x + b3 y + c3 z
Agora, calculamos as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável:
partial Vxpartial x = a1
partial Vypartial y = b2
partial Vzpartial z = c3

Passo 4

Substituímos essas derivadas na fórmula da divergência:
nabla cdot V = a1 + b2 + c3
Para que o escoamento seja incompressível, a divergência deve ser igual a zero:
a1 + b2 + c3 = 0
Portanto, a condição necessária para que o campo de velocidades represente um escoamento incompressível é que a soma de a1, b2 e c3 seja igual a zero.

Resposta

A condição para que o campo de velocidades seja incompressível e conserve a massa é que a1 + b2 + c3 = 0.

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