Exercício 02
Sob que condições o campo de velocidades
, onde
, etc. = const., representa um escoamento incompressível no qual a massa específica se conserva?
Sob que condições o campo de velocidades
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer aqui. Temos um campo de velocidades dado por:
Queremos descobrir sob quais condições esse campo representa um escoamento incompressível, ou seja, quando a massa se conserva. Para isso, vamos precisar entender o que significa um escoamento incompressível e usar o conceito de divergência de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre escoamento incompressível. Em termos simples, isso significa que o volume do fluido não muda enquanto ele se move; a densidade permanece constante. Matematicamente, isso é traduzido pela condição de que a divergência do campo de velocidades seja igual a zero.
A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Então, para que o escoamento seja incompressível, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo de velocidades dado. Primeiro, identificamos as componentes
,
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais de cada componente em relação à sua respectiva variável:
Passo 4
Substituímos essas derivadas na fórmula da divergência:
Para que o escoamento seja incompressível, a divergência deve ser igual a zero:
Portanto, a condição necessária para que o campo de velocidades represente um escoamento incompressível é que a soma de
,
e
seja igual a zero.
Resposta
A condição para que o campo de velocidades seja incompressível e conserve a massa é que
.