Uma teoria proposta por S. I. Pai, em 1953, fornece os seguintes valores de velocidade
para o escoamento turbulento de ar (altos números de Reynolds) em um tubo de 4 cm de diâmetro
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0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1,0 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2,0 |
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6,00 | 5,97 | 5,88 | 5,72 | 5,51 | 5,23 | 4,89 | 4,43 | 0,00 |
Comente esses resultados, confrontando-os com o escoamento laminar, Problema P3.3. Estime, da melhor maneira que puder, a vazão volumétrica total
do escoamento através do tubo,
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos um fluxo turbulento de ar em um tubo de 4 cm de diâmetro, com velocidades em diferentes posições radiais fornecidas pela teoria de S. I. Pai (1953). Nosso objetivo é comentar esses resultados comparando com o escoamento laminar e estimar a vazão volumétrica total $ Q $ do escoamento através do tubo. Para resolver isso, vamos precisar entender as características do fluxo turbulento comparado ao laminar e utilizar o cálculo da vazão através da integração da velocidade ao longo da seção transversal do tubo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a diferença entre fluxo laminar e turbulento. No escoamento laminar, as partículas do fluido se movem em linhas paralelas, com velocidade máxima no centro e diminuindo linearmente até as paredes do tubo. Já no escoamento turbulento, há mistura e flutuações na velocidade, resultando em uma distribuição de velocidade mais achatada no perfil, com menos queda na velocidade em relação ao centro.
Passo 3
Observando a tabela fornecida, vemos que no fluxo turbulento a velocidade no centro ($ r = 0
r = 2 $ cm). A redução da velocidade não é linear, mas a queda é mais suave comparada ao escoamento laminar, indicando um perfil mais achatado típico do fluxo turbulento.
Passo 4
Para estimar a vazão volumétrica $ Q $, precisamos integrar a velocidade $ u® $ sobre a área da seção transversal do tubo. Em coordenadas polares, a vazão é dada por:
onde $ R = 2 $ cm é o raio do tubo.
Passo 5
Como temos os valores de $ u® $ em intervalos de 0,25 cm, podemos aproximar a integral usando o método dos trapézios ou outra técnica numérica apropriada. Vamos calcular:
onde $ \Delta r = 0,25 $ cm.
Passo 6
Convertendo as unidades para metros: $ \Delta r = 0,25 $ cm = 0,0025 m
Agora, aplicando os valores:
Calculamos a contribuição de cada intervalo $ \Delta r $ e somamos todas para obter $ Q $.
Passo 7
Após realizar os cálculos, encontramos que a vazão volumétrica total $ Q $ é aproximadamente $ \mathbf{0{,}000942 , m^3/s} $.
Resposta
A vazão volumétrica total $ Q $ do escoamento turbulento no tubo é aproximadamente $ 0{,}000942 , m^3/s $.