Uma teoria proposta por S. I. Pai, em 1953, fornece os seguintes valores de velocidade u(r) para o escoamento turbulento de ar (altos números de Reynolds) em um tubo de 4 cm de diâmetro
r, cm 0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 1,75 2,0
u, m / s 6,00 5,97 5,88 5,72 5,51 5,23 4,89 4,43 0,00
Comente esses resultados, confrontando-os com o escoamento laminar, Problema P3.3. Estime, da melhor maneira que puder, a vazão volumétrica total Q do escoamento através do tubo, em m^3 / s.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos um fluxo turbulento de ar em um tubo de 4 cm de diâmetro, com velocidades em diferentes posições radiais fornecidas pela teoria de S. I. Pai (1953). Nosso objetivo é comentar esses resultados comparando com o escoamento laminar e estimar a vazão volumétrica total $ Q $ do escoamento através do tubo. Para resolver isso, vamos precisar entender as características do fluxo turbulento comparado ao laminar e utilizar o cálculo da vazão através da integração da velocidade ao longo da seção transversal do tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a diferença entre fluxo laminar e turbulento. No escoamento laminar, as partículas do fluido se movem em linhas paralelas, com velocidade máxima no centro e diminuindo linearmente até as paredes do tubo. Já no escoamento turbulento, há mistura e flutuações na velocidade, resultando em uma distribuição de velocidade mais achatada no perfil, com menos queda na velocidade em relação ao centro.

Passo 3

Observando a tabela fornecida, vemos que no fluxo turbulento a velocidade no centro ($ r = 0 r = 0 éé r = 2 $ cm). A redução da velocidade não é linear, mas a queda é mais suave comparada ao escoamento laminar, indicando um perfil mais achatado típico do fluxo turbulento.

Passo 4

Para estimar a vazão volumétrica $ Q $, precisamos integrar a velocidade $ u® $ sobre a área da seção transversal do tubo. Em coordenadas polares, a vazão é dada por:
Q
onde $ R = 2 $ cm é o raio do tubo.

Passo 5

Como temos os valores de $ u® $ em intervalos de 0,25 cm, podemos aproximar a integral usando o método dos trapézios ou outra técnica numérica apropriada. Vamos calcular:
u(r)
onde $ \Delta r = 0,25 $ cm.

Passo 6

Convertendo as unidades para metros: $ \Delta r = 0,25 $ cm = 0,0025 m
Agora, aplicando os valores:
Calculamos a contribuição de cada intervalo $ \Delta r $ e somamos todas para obter $ Q $.

Passo 7

Após realizar os cálculos, encontramos que a vazão volumétrica total $ Q $ é aproximadamente $ \mathbf{0{,}000942 , m^3/s} $.

Resposta

A vazão volumétrica total $ Q $ do escoamento turbulento no tubo é aproximadamente $ 0{,}000942 , m^3/s $.

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