Seja uma placa de massa M , espessura e, largura I e comprimento L descendo uma cavidade (infinita) viscosa de largura 2H (viscosidade mu, massa específica rho ), sob a ação da gravidade.
Assim exposto, pede-se determinar a expressão exata da velocidade terminal da placa, em função dos parâmetros citados. Considerar problema 2D no plano vertical. Todo cálculo deve ser entregue e bem organizado.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma placa com massa $ M $, espessura $ e $, largura $ I $ e comprimento $ L $ que está descendo numa cavidade viscosa infinita com largura $ 2H $. A viscosidade do fluido é $ \mu $, a massa específica é $ \rho $, e a placa está sob a ação da gravidade. O objetivo aqui é encontrar a expressão exata da velocidade terminal da placa, ou seja, a velocidade constante que a placa alcança quando as forças que atuam sobre ela se equilibram. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de fluidos, especialmente relacionados à força de arrasto viscoso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na placa. Há duas forças principais:
  1. Força gravitacional ($ F_g $): É a força puxando a placa para baixo, calculada por $ F_g = M \cdot g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
  2. Força de arrasto viscoso ($ F_v $): É a força que o fluido exerce contra o movimento da placa, resistindo à sua descida.
No estado terminal, essas duas forças se equilibram, ou seja, $ F_g = F_v $.

Passo 3

Vamos calcular a força de arrasto viscoso ($ F_v $). A força de arrasto em fluidos viscosos pode ser calculada usando a fórmula:
Fv
Onde:
  • $ \tau $ é o estresse de cisalhamento (força por unidade de área) no fluido.
  • $ A $ é a área sobre a qual essa força atua.
Para um fluxo laminar entre duas superfícies planas paralelas (como a placa e as paredes da cavidade), o estresse de cisalhamento é dado por:
Fv = tau cdot A
Aqui, $ \mu $ é a viscosidade do fluido e $ \frac{du}{dy} $ é o gradiente de velocidade no fluido.

Passo 4

Assumindo que a placa atinge uma velocidade terminal $ V $ e que a velocidade do fluido varia linearmente de $ V $ na placa até $ 0 $ nas paredes da cavidade a uma distância $ H $, temos:
V
Substituindo isso na expressão do estresse de cisalhamento:
V

Passo 5

Agora, vamos calcular a força de arrasto total $ F_v $. A área $ A $ sobre a qual a força atua é a área da placa em contato com o fluido, que é o comprimento $ L $ vezes a espessura $ e $:
Fv
Então, substituindo na expressão de $ F_v $:
A

Passo 6

No estado terminal, a força de arrasto iguala a força gravitacional:
Fv = Fg
Substituindo as expressões que encontramos:
mu cdot VH cdot L cdot e = M cdot g

Passo 7

Agora, vamos isolar $ V $ para encontrar a velocidade terminal:
V

Resposta

A velocidade terminal da placa é dada por:
V = M cdot g cdot Hmu cdot L cdot e

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