onde X(t) é o vetor desconhecido de funções de t. A tarefa é encontrar a solução geral X(t) para todo t. Informações relevantes dadas:
A matriz do sistema é \displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & -4 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
É um sistema homogêneo e linear; portanto a solução geral será combinação linear de soluções fundamentais (possivelmente envolvendo exponenciais e, no caso degenerado, termos com t multiplicando exponenciais).]
Passo 2
Vamos procurar os autovalores de \displaystyle A. Isso se faz calculando o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Da primeira equação 2x-4y=0 segue x=2y. Da segunda equação x-2y=0 vem a mesma relação, então o espaço próprio tem dimensão 1. Podemos escolher y=1 para obter um autovetor conveniente:
v=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Comentário didático: a multiplicidade algébrica de \lambda=1 é 2 mas a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1. Isso significa que A não é diagonalizável e teremos que buscar um autovetor generalizado para obter a solução geral.]
Passo 4
Procuramos um autovetor generalizado w que satisfaça
(A-I)w = v.
Isto forma uma cadeia de Jordan de comprimento 2. Escrevemos a equação explícita:
Das equações temos 2w_1-4w_2=2 e w_1-2w_2=1 — ambas são equivalentes. Da segunda equação w_1=1+2w_2. Podemos escolher livremente w_2; para simplicidade tomamos w_2=0, então w_1=1. Assim um autovetor generalizado é
w=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.]
Passo 5
Agora usamos a forma conhecida da solução quando existe uma cadeia de Jordan de comprimento 2 para o autovalor \lambda. Se (A-\lambda I)v=0 e (A-\lambda I)w=v, então a solução geral do sistema é
X(t)=e^{\lambda t}\big( c_1 v + c_2 (t v + w)\big),
onde c_1,c_2 são constantes arbitrárias. Aqui \lambda=1, v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} e w=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Portanto a solução geral é