Escolha do método e ideia básica (explicação didática curta).
Quando a matriz A tem dois autovalores reais distintos, soluções do tipo \displaystyle e^{\lambda t}v (onde v é autovetor associado a \lambda) geram uma base de soluções. Assim a solução geral é uma combinação linear dessas soluções exponenciais.
Logo vamos calcular os autovalores \lambda de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0, depois os autovetores correspondentes, montar a combinação linear e ajustar as constantes com a condição inicial.
Passo 3
Calcular o polinômio característico e os autovalores.
(Isto funciona porque cada \,e^{\lambda t}v satisfaz \dot X = A X, e dois desses com autovalores distintos são linearmente independentes e geram todas as soluções.)]
Passo 7
Aplicar a condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}\) para determinar \(c_1,c_2\).
Em \(t=0\) obtemos
\[c_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.