Exercício 03: Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
\dot{X}=\left[\begin{array}{ll}-2 & 1 \\\\ -5 & 4\end{array}\right] X, X(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo com condição inicial:
\dot{X} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] -5 & 4\end{pmatrix} X,\qquad X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a solução X(t) que satisfaz o sistema e a condição inicial.
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • A matriz do sistema é \displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]-5 & 4\end{pmatrix}.
  • Condição inicial \displaystyle X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática curta).
  • Quando a matriz A tem dois autovalores reais distintos, soluções do tipo \displaystyle e^{\lambda t}v (onde v é autovetor associado a \lambda) geram uma base de soluções. Assim a solução geral é uma combinação linear dessas soluções exponenciais.
  • Logo vamos calcular os autovalores \lambda de A resolvendo \det(A-\lambda I)=0, depois os autovetores correspondentes, montar a combinação linear e ajustar as constantes com a condição inicial.

Passo 3

Calcular o polinômio característico e os autovalores.
\det(A-\lambda I)=\det\!\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1\\[4pt]-5 & 4-\lambda\end{pmatrix} =(-2-\lambda)(4-\lambda)-1\cdot(-5).
Agora desenvolver:
(-2-\lambda)(4-\lambda)+5 =\lambda^{2}-2\lambda-3.
Resolver \lambda^{2}-2\lambda-3=0. As raízes são
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm4}{2},
portanto
\lambda_1=3,\qquad \lambda_2=-1.]

Passo 4

Encontrar um autovetor associado a \lambda_1=3.
Precisamos resolver (A-3I)v=0, isto é
\begin{pmatrix}-2-3 & 1\\[4pt]-5 & 4-3\end{pmatrix}v =\begin{pmatrix}-5 & 1\\[4pt]-5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha vem
-5x+y=0\quad\Rightarrow\quad y=5x.
Escolhendo x=1 (qualquer escala não nula serve), um autovetor é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrar um autovetor associado a \lambda_2=-1.
Resolver (A-(-1)I)=(A+I) aplicado ao vetor:
\begin{pmatrix}-2+1 & 1\\[4pt]-5 & 4+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-5 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha:
- x + y =0\quad\Rightarrow\quad y=x.
Tomando x=1, obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrever a solução geral usando os autovalores e autovetores e justificar brevemente.
  • Para autovalores distintos \lambda_1,\lambda_2 com autovetores independentes v_1,v_2, a solução geral é
X(t)=c_1 e^{\lambda_1 t}v_1 + c_2 e^{\lambda_2 t}v_2,
onde c_1,c_2 são constantes a determinar pela condição inicial. Aqui:
X(t)=c_1 e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}+c_2 e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Isto funciona porque cada \,e^{\lambda t}v satisfaz \dot X = A X, e dois desses com autovalores distintos são linearmente independentes e geram todas as soluções.)]

Passo 7

Aplicar a condição inicial X(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}\) para determinar \(c_1,c_2\). Em \(t=0\) obtemos \[c_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema linear para c_1,c_2:
\begin{cases} c_1 + c_2 = 1,\\[4pt] 5c_1 + c_2 = 3. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(5c_1+c_2)-(c_1+c_2)=3-1 \quad\Rightarrow\quad 4c_1=2 \quad\Rightarrow\quad c_1=\tfrac{1}{2}.
Então (c_2=1-c_1=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}].]

Passo 8

Escrever a solução particular final e as componentes explicitamente.
Com c_1=c_2=\tfrac{1}{2} temos
X(t)=\tfrac{1}{2}e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}+\tfrac{1}{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Separando componentes:
X(t)=\begin{pmatrix}\dfrac{e^{3t}+e^{-t}}{2}\\[8pt]\dfrac{5e^{3t}+e^{-t}}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

X(t)=\tfrac{1}{2}e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix}+\tfrac{1}{2}e^{-t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{e^{3t}+e^{-t}}{2}\\[8pt]\dfrac{5e^{3t}+e^{-t}}{2}\end{pmatrix}.]

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