Exercício 03: Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo com condição inicial. Os dados são:
- Matriz do sistema:
- Equação do sistema:
- Condição inicial:
O que se pede: encontrar
para
(solução do problema de valor inicial).]
Passo 2
Vamos calcular os autovalores de
resolvendo o polinômio característico
.
Expandindo,
então
Igualando a zero,
As raízes são
Portanto os autovalores são
(complexos conjugados).]
Passo 3
Com autovalor complexo
, obtemos um autovetor não-nulo
resolvendo
.
Da primeira linha:
Calculando
. Tomando
(escolha conveniente), fica
Passo 4
Uma solução complexa é
Pelo método padrão, duas soluções reais fundamentais são as partes real e imaginária de
:
Vamos calcular
. Usando
e
,
Expandindo o primeiro componente:
O segundo componente é
. Assim
Portanto as partes real e imaginária são
Passo 5
A solução geral real do sistema é combinação linear dessas duas soluções reais:
onde
são constantes reais a determinar pela condição inicial.]
Passo 6
Aplicamos
. Em
temos
,
e
. Então
Igualando a
obtemos o sistema para
:
Da segunda equação
. Substituindo na primeira,
Passo 7
Substituindo
e
na expressão geral e simplificando, obtemos componentes explícitas. Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Portanto a solução final é