Exercício 03: Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
\dot{X}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ -4 & 1 & 0 \\\\ 3 & 6 & 2\end{array}\right] X, X(0)=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ -30\end{array}\right].

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Sistema linear homogêneo com condição inicial:
\dot{X}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ -4 & 1 & 0 \\\\ 3 & 6 & 2\end{array}\right]X, \qquad X(0)=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ -30\end{array}\right].
  • Aqui X(t)=\left[\begin{array}{c}x_1(t)\\\ x_2(t)\\\ x_3(t)\end{array}\right].
  • Objetivo: encontrar x_1(t),x_2(t),x_3(t) que satisfaçam o sistema e a condição inicial.

Passo 2

Estratégia e observação útil (por que isso facilita bastante).
  • A matriz é triangular inferior (apenas termos abaixo da diagonal são possivelmente não nulos). As entradas da diagonal são 1,1,2.
  • Para matrizes triangulares podemos resolver as equações em cascata: primeiro a equação para x_1 (ela é independente), depois usar x_1 conhecido para resolver x_2, e então usar x_1,x_2 para resolver x_3.
  • Todas as equações são equações diferenciais lineares de primeira ordem; para equações do tipo y'+p(t)y=q(t) usaremos o fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Resolver a primeira equação (mais simples).
  • A primeira linha do sistema dá
\dot{x}_1 = 1\cdot x_1.
  • Essa é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem; a solução geral é da forma
x_1(t)=C_1 e^{t},
porque \dfrac{d}{dt}(e^{t})=e^{t}.
  • Aplicando a condição inicial x_1(0)=-1 resulta C_1=-1.
  • Portanto
x_1(t)=-e^{t}.

Passo 4

Resolver a segunda equação usando x_1(t).
  • A segunda linha do sistema é
\dot{x}_2 = -4 x_1 + 1\cdot x_2.
  • Substituindo x_1(t)=-e^{t} obtemos
\dot{x}_2 - x_2 = -4(-e^{t}) = 4 e^{t}.
  • Colocando na forma padrão y'+p(t)y=q(t) temos p(t)=-1 e q(t)=4e^{t}.
  • O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{\int -1\,dt}=e^{-t}.
  • Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos uma derivada exata:
\frac{d}{dt}\big(e^{-t} x_2\big)=e^{-t}\cdot 4 e^{t}=4.
  • Integrando ambos os lados em t:
e^{-t} x_2 = \int 4\,dt = 4t + C_2.
  • Assim
x_2(t)=(4t+C_2)e^{t}.
  • Aplicando x_2(0)=2 resulta C_2=2.
  • Logo
x_2(t)=(4t+2)e^{t}.

Passo 5

Resolver a terceira equação usando x_1(t) e x_2(t).
  • A terceira linha do sistema é
\dot{x}_3 = 3 x_1 + 6 x_2 + 2 x_3.
  • Substituindo x_1(t)=-e^{t} e x_2(t)=(4t+2)e^{t} calculemos o termo não homogêneo:
3x_1 + 6x_2 = 3(-e^{t}) + 6(4t+2)e^{t} = (-3 + 24t +12)e^{t}=(24t+9)e^{t}.
  • A equação fica
\dot{x}_3 - 2 x_3 = (24t+9)e^{t}.
  • Aqui p(t)=-2, então o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int -2\,dt}=e^{-2t}.
  • Multiplicando pela \mu:
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}x_3\big) = (24t+9)e^{t}e^{-2t} = (24t+9)e^{-t}.
  • Agora precisamos integrar o lado direito. Calcule
\int (24t+9)e^{-t}\,dt = 24\int t e^{-t}\,dt + 9\int e^{-t}\,dt.
  • Usando a primitiva conhecida \int t e^{-t}\,dt = - (t+1)e^{-t} + C e \int e^{-t}\,dt = -e^{-t}+C, obtemos
\int (24t+9)e^{-t}\,dt = 24\big(- (t+1)e^{-t}\big) + 9\big(-e^{-t}\big) + C = (-24t-33)e^{-t} + C.
  • Assim
e^{-2t}x_3 = (-24t-33)e^{-t} + C_3.
  • Multiplicando por e^{2t} vem
x_3(t)=(-24t-33)e^{t} + C_3 e^{2t}.
  • Aplicando x_3(0)=-30 obtém-se
-33 + C_3 = -30 \quad\Rightarrow\quad C_3=3.
  • Portanto
x_3(t)=(-24t-33)e^{t} + 3 e^{2t}.

Passo 6

Juntar as componentes para a solução do sistema com a condição inicial.
  • A solução encontrada é o vetor
X(t)=\left[\begin{array}{c}x_1(t)\\[4pt] x_2(t)\\[4pt] x_3(t)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} - e^{t}\\[4pt] (4t+2)e^{t}\\[4pt] (-24t-33)e^{t} + 3 e^{2t} \end{array}\right].]

Resposta

\displaystyle x_1(t)=-e^{t}
\displaystyle x_2(t)=(4t+2)e^{t}
\displaystyle x_3(t)=(-24t-33)e^{t}+3e^{2t}

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