Objetivo: encontrar x_1(t),x_2(t),x_3(t) que satisfaçam o sistema e a condição inicial.
Passo 2
Estratégia e observação útil (por que isso facilita bastante).
A matriz é triangular inferior (apenas termos abaixo da diagonal são possivelmente não nulos). As entradas da diagonal são 1,1,2.
Para matrizes triangulares podemos resolver as equações em cascata: primeiro a equação para x_1 (ela é independente), depois usar x_1 conhecido para resolver x_2, e então usar x_1,x_2 para resolver x_3.
Todas as equações são equações diferenciais lineares de primeira ordem; para equações do tipo y'+p(t)y=q(t) usaremos o fator integrante \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Resolver a primeira equação (mais simples).
A primeira linha do sistema dá
\dot{x}_1 = 1\cdot x_1.
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem; a solução geral é da forma
x_1(t)=C_1 e^{t},
porque \dfrac{d}{dt}(e^{t})=e^{t}.
Aplicando a condição inicial x_1(0)=-1 resulta C_1=-1.
Portanto
x_1(t)=-e^{t}.
Passo 4
Resolver a segunda equação usando x_1(t).
A segunda linha do sistema é
\dot{x}_2 = -4 x_1 + 1\cdot x_2.
Substituindo x_1(t)=-e^{t} obtemos
\dot{x}_2 - x_2 = -4(-e^{t}) = 4 e^{t}.
Colocando na forma padrão y'+p(t)y=q(t) temos p(t)=-1 e q(t)=4e^{t}.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{\int -1\,dt}=e^{-t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos uma derivada exata: