Obtenha a \sigma-álgebra gerada pela classe \{\{0,1\},\{1,2\}\} se,
\Omega=\{0,1,2\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço amostral \Omega=\{0,1,2\} e a classe de conjuntos
\{\{0,1\},\{1,2\}\}.
A pergunta é: obter a \sigma-álgebra gerada por essa classe, ou seja, encontrar \sigma\big(\{\{0,1\},\{1,2\}\}\big).
Informações relevantes dadas: \Omega tem exatamente os elementos 0,1,2 e a classe geradora contém os conjuntos \{0,1\} e \{1,2\}.

Passo 2

Primeiro, recapitulemos o que é uma \sigma-álgebra (vou explicar de forma direta, como se estivéssemos revisando para a prova). Uma coleção \mathcal{F} de subconjuntos de \Omega é uma \sigma-álgebra se satisfaz:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad \Omega\in\mathcal{F},\\\ &\text{(ii)}\quad \text{se }A\in\mathcal{F}\text{ então }A^{c}\in\mathcal{F}\\ (\text{fechamento por complemento}),\\\ &\text{(iii)}\quad \text{se }A_{1},A_{2},\dotsc\in\mathcal{F}\text{ então }\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\mathcal{F}\\ (\text{fechamento por uniões contáveis}). \end{aligned}ããõá
Consequências úteis e fáceis de usar no contexto finito:
  • \emptyset\in\mathcal{F} porque \emptyset=\Omega^{c}.
  • A partir de complemento e união contável obtemos também interseções: A\cap B = (A^{c}\cup B^{c})^{c},então \mathcal{F} é fechada por interseções finitas.
  • Em um \Omega finito, uma \sigma-álgebra é determinada pelos conjuntos de uma partição cujas uniões geram todos os elementos; mas aqui vamos derivar diretamente os conjuntos necessários a partir dos geradores dados.

Passo 3

Vamos obter imediatamente alguns conjuntos que devem estar em qualquer \sigma-álgebra que contenha \{0,1\} e \{1,2\}.
Como a \sigma-álgebra é fechada por complemento, os complementos relativos a \Omega pertencem a ela. Calculamos:
\{0,1\}^{c}=\{2\},
\{1,2\}^{c}=\{0\}.
Logo, qualquer \sigma-álgebra que contenha os geradores já contém \{2\} e \{0\}.

Passo 4

Agora vamos obter \{1\}. Usamos que \sigma-álgebras são fechadas por interseção (ou usamos diretamente a interseção entre os geradores):
\{0,1\}\cap\{1,2\}=\{1\}.
Portanto \{1\} também pertence à \sigma-álgebra gerada.
Obs.: se alguém quiser justificar sem usar diretamente interseção, escrevemos \{1\}=(\{0,1\}^{c}\cup\{1,2\}^{c})^{c}=(\{2\}\cup\{0\})^{c}=\{1\}, que é a mesma derivação via De Morgan.

Passo 5

Agora que já temos os três singletons \{0\}, \{1\} e \{2\} na \sigma-álgebra, qualquer subconjunto de \Omega é união de alguns desses singletons. Por exemplo:
\{0,1\}=\{0\}\cup\{1\},\qquad \{0,2\}=\{0\}\cup\{2\},\qquad \{1,2\}=\{1\}\cup\{2\},
e claro \emptyset e \Omega já fazem parte ( \Omega=\{0\}\cup\{1\}\cup\{2\} e \emptyset é complemento de \Omega ).
Como a \sigma-álgebra é fechada por uniões contáveis (logo por uniões finitas), todas essas uniões estão na \sigma-álgebra gerada. Assim ela contém todos os 2^{3}=8 subconjuntos de \Omega.

Passo 6

Resta observar a minimalidade: qualquer \sigma-álgebra que contenha \{0,1\} e \{1,2\} foi forçada, pelos passos anteriores, a conter \{0\},\{1\},\{2\} e, por uniões e complementos, todos os subconjuntos de \Omega. Portanto a \sigma-álgebra gerada por \{\{0,1\},\{1,2\}\} é exatamente a potência de \Omega, isto é, a coleção de todos os subconjuntos de \Omega.

Resposta

\sigma\big(\{\{0,1\},\{1,2\}\}\big)=\mathcal{P}(\Omega)=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\Omega\}.

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