Obtenha a
-álgebra gerada pela classe
se,
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço amostral
e a classe de conjuntos
.
A pergunta é: obter a -álgebra gerada por essa classe, ou seja, encontrar
.
Informações relevantes dadas: tem exatamente os elementos
e a classe geradora contém os conjuntos
e
.
A pergunta é: obter a
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Primeiro, recapitulemos o que é uma
-álgebra (vou explicar de forma direta, como se estivéssemos revisando para a prova). Uma coleção
de subconjuntos de
é uma
-álgebra se satisfaz:
Consequências úteis e fáceis de usar no contexto finito:
-
porque . - A partir de complemento e união contável obtemos também interseções:
então é fechada por interseções finitas. - Em um
finito, uma -álgebra é determinada pelos conjuntos de uma partição cujas uniões geram todos os elementos; mas aqui vamos derivar diretamente os conjuntos necessários a partir dos geradores dados.
Passo 3
Vamos obter imediatamente alguns conjuntos que devem estar em qualquer
-álgebra que contenha
e
.
Como a
-álgebra é fechada por complemento, os complementos relativos a
pertencem a ela. Calculamos:
Logo, qualquer
-álgebra que contenha os geradores já contém
e
.
Passo 4
Agora vamos obter
. Usamos que
-álgebras são fechadas por interseção (ou usamos diretamente a interseção entre os geradores):
Portanto
também pertence à
-álgebra gerada.
Obs.: se alguém quiser justificar sem usar diretamente interseção, escrevemos
, que é a mesma derivação via De Morgan.
Passo 5
Agora que já temos os três singletons
,
e
na
-álgebra, qualquer subconjunto de
é união de alguns desses singletons. Por exemplo:
e claro
e
já fazem parte (
e
é complemento de
).
Como a
-álgebra é fechada por uniões contáveis (logo por uniões finitas), todas essas uniões estão na
-álgebra gerada. Assim ela contém todos os
subconjuntos de
.
Passo 6
Resta observar a minimalidade: qualquer
-álgebra que contenha
e
foi forçada, pelos passos anteriores, a conter
e, por uniões e complementos, todos os subconjuntos de
. Portanto a
-álgebra gerada por
é exatamente a potência de
, isto é, a coleção de todos os subconjuntos de
.