No exercício 05:
considerando que uma irradiação foi realizada a partir da estação 1 para uma placa, calcule as coordenadas planimétricas (isto é, Xe Y ) da placa sabendo-se que o azimute calculado foi igual a 223^{\circ} 46^{\prime} 45^{\prime \prime} e a distância horizontal igual a 57,457 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as coordenadas planimétricas da placa (isto é, X_e e Y_e) sabendo que a observação foi feita a partir da estação 1 e que os dados medidos são:
\text{azimute } A = 223^\circ 46' 45'' \qquad\text{e}\qquad \text{distância horizontal } s = 57,457\\ \mathrm{m}.â
Informações relevantes dadas:
A=223^\circ 46' 45'',\qquad s=57,457\\ \mathrm{m}.
Informação necessária que NÃO foi fornecida no enunciado:
\text{as coordenadas da estação 1, que vamos chamar } X_1 \text{ e } Y_1.çã
Sem X_1 e Y_1 não é possível apresentar as coordenadas planimétricas absolutas X_e e Y_e da placa — podemos, no entanto, explicar passo a passo como fazer o cálculo e dar as expressões e os deslocamentos ( \Delta X,\Delta Y) que devem ser somados a X_1,Y_1.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula curta e prática).
Quando se tem uma medição em polar (azimute A e distância s) e se deseja a coordenada planimétrica em referência a uma estação com coordenadas (X_1,Y_1), usamos as relações trigonométricas do triângulo retângulo projetando a distância nas direções Leste (Eixo X) e Norte (Eixo Y). Com a convenção usual de azimute medido a partir do Norte, no sentido horário, as fórmulas são:
\Delta X = s\sin A,\qquad \Delta Y = s\cos A,
e então
X_e = X_1 + \Delta X,\qquad Y_e = Y_1 + \Delta Y.
Explicação didática: \sin A (do azimute) dá a razão entre o cateto Leste (oposto) e a hipotenusa s; \cos A dá a razão entre o cateto Norte (adjacente) e s. As letras significam:
s=\text{distância horizontal medida},\quad A=\text{azimute medido (graus, minutos, segundos)},â
\Delta X=\text{deslocamento Leste a partir da estação},\quad \Delta Y=\text{deslocamento Norte a partir da estação}.çãçã

Passo 3

Converter o azimute dado de graus, minutos e segundos (DMS) para graus decimais — passo obrigatório antes de aplicar funções trigonométricas:
A = 223^\circ 46' 45'' = 223 + \frac{46}{60} + \frac{45}{3600} = 223,7791667^\circ.
(Use vírgula como separador decimal conforme convenção local.)

Passo 4

Determinar o quadrantamento e os sinais de seno e cosseno. Como
A=223,7791667^\circ = 180^\circ + 43,7791667^\circ,
a referência angular dentro do primeiro quadrante complementar é \theta=43,7791667^\circ. O azimute está no terceiro quadrante, onde seno e cosseno são ambos negativos: portanto
\sin A = -\sin\theta,\qquad \cos A = -\cos\theta.

Passo 5

Converter graus em radianos caso vá usar calculadora científica que pede radianos:
\theta_{\text{rad}}=\theta\cdot\frac{\pi}{180}.
(Se sua calculadora aceita graus, pode usar \sin(43,7791667^\circ) diretamente configurando-a em modo grau.)

Passo 6

Calcular os deslocamentos \Delta X e \Delta Y. Usando as fórmulas do Passo 2 e lembrando os sinais do Passo 4:
\Delta X = s\sin A = s\bigl(-\sin\theta\bigr),\qquad \Delta Y = s\cos A = s\bigl(-\cos\theta\bigr).
Substituindo s=57,457\\ \mathrm{m} e \theta=43,7791667^\circ obtemos as expressões numéricas (valores aproximados — usar calculadora para precisão final):
\Delta X \approx -\,57,457\cdot\sin(43,7791667^\circ),
\Delta Y \approx -\,57,457\cdot\cos(43,7791667^\circ).
Se você calcular \sin(43,7791667^\circ) e \cos(43,7791667^\circ) na sua calculadora (modo grau), obterá dois números positivos e, por serem multiplicados pelo sinal negativo, ambos os deslocamentos virão negativos (isto é, a placa está a sudoeste da estação). Exemplificando com aproximações:
\sin(43,7791667^\circ)\approx 0,6939\quad\Rightarrow\quad \Delta X\approx -\,57,457\cdot0,6939\approx -\,39,88\\ \mathrm{m},
\cos(43,7791667^\circ)\approx 0,7201\quad\Rightarrow\quad \Delta Y\approx -\,57,457\cdot0,7201\approx -\,41,38\\ \mathrm{m}.
Observação didática: esses valores são aproximações; use sua calculadora para obter mais casas decimais se precisar.

Passo 7

Calcular as coordenadas finais somando os deslocamentos às coordenadas da estação:
X_e = X_1 + \Delta X,\qquad Y_e = Y_1 + \Delta Y.
Exemplo para fixar (apenas exemplo numérico): se a estação 1 tivesse X_1=1\,000,000\\ \mathrm{m} e Y_1=2\,000,000\\ \mathrm{m}, então, usando as aproximações acima,
X_e \approx 1\,000,000 - 39,88 = 999\,960,12\\ \mathrm{m},
Y_e \approx 2\,000,000 - 41,38 = 1\,999\,958,62\\ \mathrm{m}.
Mas esse exemplo é só ilustrativo — os X_1,Y_1 reais devem vir do enunciado/planta.

Passo 8

Resumo do procedimento pronto para aplicar na prova (checklist rápido):
  1. Converter o azimute DMS para graus decimais.
  2. Determinar o sinal de seno e cosseno pelo quadrante do azimute.
  3. Calcular \Delta X = s\sin A e \Delta Y = s\cos A (usar calculadora em modo grau ou converter para radianos).
  4. Somar \Delta X,\Delta Y às coordenadas X_1,Y_1 da estação para obter X_e,Y_e.
    Se faltar X_1,Y_1, você só consegue os deslocamentos \Delta X,\Delta Y, não as coordenadas absolutas.

Resposta

Não é possível determinar numericamente X_e e Y_e porque as coordenadas da estação 1 ( X_1 e Y_1) não foram fornecidas.

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