No exercício 05:
considerando que uma irradiação foi realizada a partir da estação 3 para um poste, calcule as coordenadas planimétricas (isto é, Xe Y ) do poste sabendo-se que o azimute calculado foi igual a 3^{\circ} 46^{\prime} 45^{\prime \prime} e a distância horizontal igual a 5,457 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as coordenadas planimétricas do poste (isto é, X e Y do poste) a partir de uma irradiação feita da estação 3.
Dados fornecidos no enunciado: o azimute da irradiação igual a 3^\circ46'45'' e a distância horizontal igual a 5,457\\ \mathrm{m}.
Informação necessária que não foi fornecida no enunciado: as coordenadas conhecidas da estação 3 (isto é, X_{e,3} e Y_{3}). Sem as coordenadas da estação 3 não é possível obter valores absolutos para X e Y do poste — só podemos obter os deslocamentos \Delta X e \Delta Y a partir da estação 3 e a fórmula para somá-los às coordenadas da estação.

Passo 2

Entendendo o que significa o azimute e como ele é usado para obter deslocamentos: um azimute neste contexto é o ângulo medido a partir do Norte verdadeiro no sentido horário até a direção do poste. Em planimetria, dado um azimute \alpha medido a partir do Norte (no sentido horário) e uma distância horizontal s, os deslocamentos planimétricos (no sistema em que X aumenta para Este e Y aumenta para Norte) são dados por:
\Delta X = s\cdot\sin(\alpha)
\Delta Y = s\cdot\cos(\alpha)
Aqui \Delta X é o incremento na direção Leste (Easting) e \Delta Y o incremento na direção Norte (Northing). Depois, as coordenadas do poste são obtidas por:
X_{\text{poste}} = X_{e,3} + \Delta X
Y_{\text{poste}} = Y_{3} + \Delta Y
Expliquei isso porque é a fórmula prática que você vai aplicar na prova: multiplicar a distância pelo seno para obter o deslocamento em X (leste) e pela cosseno para obter o deslocamento em Y (norte), quando o azimute é contado a partir do Norte.

Passo 3

Converter o azimute de graus, minutos e segundos para graus decimais (passo obrigatório antes de calcular seno e cosseno). Temos:
\alpha = 3^\circ46'45'' = 3 + \frac{46}{60} + \frac{45}{3600}\\ \text{graus}
Agora calculamos:
\frac{46}{60}=0,7666667,\qquad \frac{45}{3600}=0,0125
\Rightarrow \alpha \approx 3,7791667^\circ

Passo 4

Converter o ângulo em radianos (útil para usar aproximações de séries de Taylor para seno e cosseno sem calculadora). A relação é:
\text{radianos} = \alpha\cdot\frac{\pi}{180}
Substituindo \alpha:
\alpha_{\text{rad}} \approx 3,7791667\cdot\frac{\pi}{180}\approx 0,0659589\\ \text{rad}
(na multiplicação usei \pi\approx 3,14159265 e fiz a conta com precisão suficiente para a prova).

Passo 5

Calcular seno e cosseno usando aproximações de série de Taylor (método prático sem calculadora para ângulos pequenos): para x em radianos pequeno,
\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}
\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}
Agora aplicamos com x=\alpha_{\text{rad}}\approx 0,0659589.
Calcule x^2 e x^3 aproximadamente:
x^2 \approx (0,0659589)^2 \approx 0,004352
x^3 \approx x^2\cdot x \approx 0,004352\cdot 0,0659589 \approx 0,000287
Portanto:
\sin(\alpha)\approx 0,0659589 - \frac{0,000287}{6}\approx 0,0659589 - 0,0000478\approx 0,0659111
\cos(\alpha)\approx 1 - \frac{0,004352}{2}\approx 1 - 0,002176\approx 0,997824
Esses valores estão em boa precisão prática para fazer multiplicações com a distância sem calculadora.

Passo 6

Calcular os deslocamentos \Delta X e \Delta Y usando s=5,457\\ \mathrm{m} e os valores de seno e cosseno obtidos:
\Delta X = s\cdot\sin(\alpha)\approx 5,457\cdot 0,0659111
\Delta Y = s\cdot\cos(\alpha)\approx 5,457\cdot 0,997824
Faça as multiplicações por partes (maneira prática sem calculadora): por exemplo, para \Delta X decomponha 0,0659111=0,06+0,005+0,0009+0,0000111 e multiplique cada parte por 5,457 somando os resultados. Executando essa conta obtemos:
\Delta X \approx 0,3597\\ \mathrm{m}
E para \Delta Y use a identidade 5,457\cdot 0,997824 = 5,457 - 5,457\cdot0,002176. Calculando:
5,457\cdot0,002176\approx 0,011872
\Rightarrow \Delta Y \approx 5,457 - 0,011872 \approx 5,4451\\ \mathrm{m}

Passo 7

Interprete o sinal e finalize a fórmula para as coordenadas do poste. Como o azimute é pequeno (próximo de Norte com pequeno desvio para Leste), ambos \Delta X e \Delta Y são positivos: o poste está um pouco a Leste e bastante a Norte da estação 3. Assim:
X_{\text{poste}} = X_{e,3} + \Delta X \approx X_{e,3} + 0,3597\\ \mathrm{m}
Y_{\text{poste}} = Y_{3} + \Delta Y \approx Y_{3} + 5,4451\\ \mathrm{m}
Se você tiver as coordenadas numéricas X_{e,3} e Y_3, basta somar os deslocamentos numéricos acima para obter as coordenadas do poste.

Resposta

X_{\text{poste}} = X_{e,3} + 0,3597\\ \mathrm{m}
Y_{\text{poste}} = Y_{3} + 5,4451\\ \mathrm{m}

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