No exercício 05:
considerando que uma irradiação foi realizada a partir da estação 3 para um poste, calcule as coordenadas planimétricas (isto é, Xe Y ) do poste sabendo-se que o azimute calculado foi igual a
e a distância horizontal igual a
.
considerando que uma irradiação foi realizada a partir da estação 3 para um poste, calcule as coordenadas planimétricas (isto é, Xe Y ) do poste sabendo-se que o azimute calculado foi igual a
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as coordenadas planimétricas do poste (isto é,
e
do poste) a partir de uma irradiação feita da estação 3.
Dados fornecidos no enunciado: o azimute da irradiação igual a
e a distância horizontal igual a
.
Informação necessária que não foi fornecida no enunciado: as coordenadas conhecidas da estação 3 (isto é, e
). Sem as coordenadas da estação 3 não é possível obter valores absolutos para
e
do poste — só podemos obter os deslocamentos
e
a partir da estação 3 e a fórmula para somá-los às coordenadas da estação.
Dados fornecidos no enunciado:
Informação necessária que não foi fornecida no enunciado: as coordenadas conhecidas da estação 3 (isto é,
Passo 2
Entendendo o que significa o azimute e como ele é usado para obter deslocamentos: um azimute neste contexto é o ângulo medido a partir do Norte verdadeiro no sentido horário até a direção do poste. Em planimetria, dado um azimute
medido a partir do Norte (no sentido horário) e uma distância horizontal
, os deslocamentos planimétricos (no sistema em que
aumenta para Este e
aumenta para Norte) são dados por:
Aqui
é o incremento na direção Leste (Easting) e
o incremento na direção Norte (Northing). Depois, as coordenadas do poste são obtidas por:
Expliquei isso porque é a fórmula prática que você vai aplicar na prova: multiplicar a distância pelo seno para obter o deslocamento em X (leste) e pela cosseno para obter o deslocamento em Y (norte), quando o azimute é contado a partir do Norte.
Passo 3
Converter o azimute de graus, minutos e segundos para graus decimais (passo obrigatório antes de calcular seno e cosseno). Temos:
Agora calculamos:
Passo 4
Converter o ângulo em radianos (útil para usar aproximações de séries de Taylor para seno e cosseno sem calculadora). A relação é:
Substituindo
:
(na multiplicação usei
e fiz a conta com precisão suficiente para a prova).
Passo 5
Calcular seno e cosseno usando aproximações de série de Taylor (método prático sem calculadora para ângulos pequenos): para
em radianos pequeno,
Agora aplicamos com
.
Calcule
e
aproximadamente:
Portanto:
Esses valores estão em boa precisão prática para fazer multiplicações com a distância sem calculadora.
Passo 6
Calcular os deslocamentos
e
usando
e os valores de seno e cosseno obtidos:
Faça as multiplicações por partes (maneira prática sem calculadora): por exemplo, para
decomponha
e multiplique cada parte por
somando os resultados. Executando essa conta obtemos:
E para
use a identidade
. Calculando:
Passo 7
Interprete o sinal e finalize a fórmula para as coordenadas do poste. Como o azimute é pequeno (próximo de Norte com pequeno desvio para Leste), ambos
e
são positivos: o poste está um pouco a Leste e bastante a Norte da estação 3. Assim:
Se você tiver as coordenadas numéricas
e
, basta somar os deslocamentos numéricos acima para obter as coordenadas do poste.