Questão
: Considere as funções abaixo:
(a) Apresente e esboce os domínios de
e
;
(b) Calcule
.
(b) Calcule
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Temos as duas funções
e
O enunciado faz duas perguntas:
- (a) Apresente e esboce os domínios de
e . - (b) Calcule
.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar: as expressões sob as raízes quadradas devem ser não negativas (para que as funções reais estejam definidas), e o ponto do limite é
. A resolução efetiva começa no próximo passo.
Passo 2
Domínio de
: entendimento da condição para a raiz. Para que
seja real precisamos que o radicando seja não negativo. Ou seja:
Reescrevendo,
Essa é a condição que define o domínio de
. Em palavras: o domínio de
é o conjunto de todos os pontos
no plano cuja distância ao origem é maior ou igual a
(pois
é o quadrado da distância ao
e
). Portanto o domínio de
é a região exterior (incluindo a fronteira) do círculo de raio
centrado na origem.
Passo 3
Esboço verbal do domínio de
. Para desenhar mentalmente ou esboçar no rascunho:
- Trace o círculo de centro
e raio . - O domínio de
é a região fora desse círculo mais a própria circunferência (ou seja, tudo que satisfaz ).
Dica prática para a prova: ao verpedir domínio, transforme em inequação e interprete geometricamente se for soma de quadrados.
Passo 4
Domínio de
: entendimento das condições. A função
tem duas parcelas:
(definida em todo o plano) e
. Para que essa raiz exista em
precisamos que
Isolando
,
Portanto o domínio de
é o conjunto de pontos
tais que
está por baixo ou sobre a parábola
. Em palavras: é a região no plano que está no lado inferior (ou igual) da parábola
.
Passo 5
Esboço verbal do domínio de
. Para desenhar:
- Trace a parábola
(aberta para cima, vértice em ). - O domínio de
é toda a região abaixo dessa curva, incluindo a própria parábola (isto é, ).
Observação prática: a raiz impõe uma desigualdade do tipo, então isole para interpretar geometricamente.
Passo 6
Verificação de que
pertence aos domínios e análise de continuidade. Calcule os valores no ponto:
Portanto os dois valores existem e são finitos. Agora, propriedades que usamos:
- Polinômios (como
e ) são funções contínuas em todo . - A função
é contínua para (e continua em por definição). Composição de contínuas é contínua.
Logoe são contínuas em pontos onde as expressões dentro das raízes são estritamente positivas; em particular em temos radicandos positivos ( e ), então e são contínuas em .
Passo 7
Cálculo do limite usando continuidade e a regra do quociente. Teorema prático: se
e
são funções contínuas em
e
, então
Aplicando esse fato com
,
e o ponto
, e sabendo que
, obtemos
Comentário amigo: como o denominador no ponto limite não é zero, não precisamos fazer trajetórias especiais — a continuidade resolve a parada rapidinho.
Resposta
(a)
(região exterior ao círculo de raio
, inclusive a circunferência).\n
(região abaixo ou sobre a parábola
).\n(b)
.