Questão 1(\mathbf{1}, \mathbf{5}) : Considere as funções abaixo:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-9} \quad \text { e } \quad g(x, y)=y^{3}-\sqrt{x^{2}-y}
(a) Apresente e esboce os domínios de f e g;
(b) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(5,0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)}.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. Temos as duas funções
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}-9}
e
g(x,y)=y^{3}-\sqrt{x^{2}-y}.
O enunciado faz duas perguntas:
  1. (a) Apresente e esboce os domínios de f e g.
  2. (b) Calcule \displaystyle\lim_{(x,y)\to(5,0)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}.
Informações relevantes dadas no enunciado que vamos usar: as expressões sob as raízes quadradas devem ser não negativas (para que as funções reais estejam definidas), e o ponto do limite é (5,0). A resolução efetiva começa no próximo passo.

Passo 2

Domínio de f: entendimento da condição para a raiz. Para que f(x,y) seja real precisamos que o radicando seja não negativo. Ou seja:
x^{2}+y^{2}-9 \ge 0.
Reescrevendo,
x^{2}+y^{2} \ge 9.
Essa é a condição que define o domínio de f. Em palavras: o domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) no plano cuja distância ao origem é maior ou igual a 3 (pois x^{2}+y^{2} é o quadrado da distância ao (0,0) e 9=3^{2}). Portanto o domínio de f é a região exterior (incluindo a fronteira) do círculo de raio 3 centrado na origem.

Passo 3

Esboço verbal do domínio de f. Para desenhar mentalmente ou esboçar no rascunho:
  • Trace o círculo de centro (0,0) e raio 3.
  • O domínio de f é a região fora desse círculo mais a própria circunferência (ou seja, tudo que satisfaz x^{2}+y^{2}\ge 9).
    Dica prática para a prova: ao ver \sqrt{\text{algo}} pedir domínio, transforme em inequação \text{algo}\ge 0 e interprete geometricamente se for soma de quadrados.

Passo 4

Domínio de g: entendimento das condições. A função g tem duas parcelas: y^{3} (definida em todo o plano) e -\sqrt{x^{2}-y}. Para que essa raiz exista em \mathbb{R} precisamos que
x^{2}-y \ge 0.
Isolando y,
y \le x^{2}.
Portanto o domínio de g é o conjunto de pontos (x,y) tais que y está por baixo ou sobre a parábola y=x^{2}. Em palavras: é a região no plano que está no lado inferior (ou igual) da parábola y=x^{2}.

Passo 5

Esboço verbal do domínio de g. Para desenhar:
  • Trace a parábola y=x^{2} (aberta para cima, vértice em (0,0)).
  • O domínio de g é toda a região abaixo dessa curva, incluindo a própria parábola (isto é, y\le x^{2}).
    Observação prática: a raiz impõe uma desigualdade do tipo x^{2}-y\ge 0, então isole y para interpretar geometricamente.

Passo 6

Verificação de que (5,0) pertence aos domínios e análise de continuidade. Calcule os valores no ponto:
f(5,0)=\sqrt{5^{2}+0^{2}-9}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4.
g(5,0)=0^{3}-\sqrt{5^{2}-0}= -\sqrt{25}=-5.
Portanto os dois valores existem e são finitos. Agora, propriedades que usamos:
  • Polinômios (como y^{3} e x^{2}) são funções contínuas em todo \mathbb{R}^{2}.
  • A função \sqrt{t} é contínua para t>0 (e continua em t=0 por definição). Composição de contínuas é contínua.
    Logo f e g são contínuas em pontos onde as expressões dentro das raízes são estritamente positivas; em particular em (5,0) temos radicandos positivos ( x^{2}+y^{2}-9=16>0 e x^{2}-y=25>0), então f e g são contínuas em (5,0).

Passo 7

Cálculo do limite usando continuidade e a regra do quociente. Teorema prático: se u e v são funções contínuas em (a,b) e v(a,b)\neq 0, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{u(x,y)}{v(x,y)}=\frac{u(a,b)}{v(a,b)}.
Aplicando esse fato com u=f, v=g e o ponto (5,0), e sabendo que g(5,0)=-5\neq 0, obtemos
\lim_{(x,y)\to(5,0)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{f(5,0)}{g(5,0)}=\frac{4}{-5}=-\frac{4}{5}.
Comentário amigo: como o denominador no ponto limite não é zero, não precisamos fazer trajetórias especiais — a continuidade resolve a parada rapidinho.

Resposta

(a) \displaystyle \mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\ge 9\} (região exterior ao círculo de raio 3, inclusive a circunferência).\n \displaystyle \mathrm{Dom}(g)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\le x^{2}\} (região abaixo ou sobre a parábola y=x^{2}).\n(b) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(5,0)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=-\frac{4}{5}.

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