Exercício 05
Considere uma onda harmônica descrita por
.
(c) Obtenha a potência associada a essa transferência de energia na corda.
Considere uma onda harmônica descrita por
Passo 1
O enunciado nos dá a deslocamento transversal de uma onda harmônica na corda:
O que se pede: obter a potência associada à transferência de energia na corda.
Informações que vamos usar (são parâmetros físicos típicos que a corda tem; o enunciado só deu , então adotamos estes símbolos padrão):
Informações que vamos usar (são parâmetros físicos típicos que a corda tem; o enunciado só deu
-
= tensão da corda (força de tração, unidade N). -
= densidade linear de massa da corda (massa por comprimento, unidade kg/m). -
= velocidade de propagação da onda na corda; sabe-se que e também .
O objetivo aqui será obter a potência instantânea que atravessa um ponto
da corda e, em seguida, a potência média transportada pela onda (muito útil na prova).
Passo 2
Ideia física e fórmula geral para potência: a potência transmitida através de uma seção da corda é a taxa de trabalho que a parte da corda à esquerda (ou à direita) faz sobre a parte do outro lado. Isso pode ser escrito como força vertical multiplicada pela velocidade vertical no ponto. A componente vertical da tensão na corda, para pequenos ângulos (aproximação de pequenas oscilações), é dada por
. A velocidade vertical é
. Portanto a potência instantânea passando pela seção em
é
que, com o sinal correto, leva a
Explicação do sinal: a força vertical aplicada pela porção à esquerda sobre a porção à direita é
; multiplicando pela velocidade vertical
dá a potência entregue à porção à direita. Não precisamos memorizar o sinal — a fórmula acima é a que se usa.
Passo 3
Calcular as derivadas para
.
Derivada espacial:
Derivada temporal:
Agora substituímos na expressão de potência:
Simplificando os sinais e agrupando termos:
Observações: essa é a potência instantânea em função de
e
. Está sempre não-negativa (porque
), o que faz sentido: a onda transfere energia em média no sentido de propagação.
Passo 4
Potência média ao longo do tempo (mais útil em provas): calcula-se a média temporal de
num período
. Como
depende de
, usamos que a média temporal de
sobre um período é
. Logo a potência média é
Portanto
Passo 5
Expressões alternativas úteis e relação com
e
.
Usando
podemos reescrever
de forma comum em livros:
mas é mais simples usar
. Substituindo
por
e
chegamos a
Essas duas formas são algebraicamente equivalentes; a segunda é muito usada porque mostra claramente dependência: aumenta com
, com
, com
e linearmente com a velocidade de fase
.
Passo 6
Interpretação rápida e checagem de unidades:
- Unidade de
: (kg/m) (s^{-2}) (m^{2}) (m/s) kg·m{2}/(m·s{3}) = kg·m{1}/s{3} = W). Ok, dá watts. - Física: potência média cresce com o quadrado da amplitude (esperado) e com a frequência ao quadrado; ondas mais rápidas (maior
) transferem mais energia por segundo.