Exercício 05
Considere uma onda harmônica descrita por y(x, t)=A \sin (k x-\omega t).
(c) Obtenha a potência associada a essa transferência de energia na corda.

Passo 1

O enunciado nos dá a deslocamento transversal de uma onda harmônica na corda:
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
O que se pede: obter a potência associada à transferência de energia na corda.
Informações que vamos usar (são parâmetros físicos típicos que a corda tem; o enunciado só deu y, então adotamos estes símbolos padrão):
  • T = tensão da corda (força de tração, unidade N).
  • \mu = densidade linear de massa da corda (massa por comprimento, unidade kg/m).
  • v = velocidade de propagação da onda na corda; sabe-se que v=\dfrac{\omega}{k} e também v=\sqrt{T/\mu}.
O objetivo aqui será obter a potência instantânea que atravessa um ponto x da corda e, em seguida, a potência média transportada pela onda (muito útil na prova).

Passo 2

Ideia física e fórmula geral para potência: a potência transmitida através de uma seção da corda é a taxa de trabalho que a parte da corda à esquerda (ou à direita) faz sobre a parte do outro lado. Isso pode ser escrito como força vertical multiplicada pela velocidade vertical no ponto. A componente vertical da tensão na corda, para pequenos ângulos (aproximação de pequenas oscilações), é dada por -T\,\partial y/\partial x. A velocidade vertical é \partial y/\partial t. Portanto a potência instantânea passando pela seção em x é
P(x,t)=\text{(força vertical)}\times\text{(velocidade vertical)}ç
que, com o sinal correto, leva a
P(x,t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t}.
Explicação do sinal: a força vertical aplicada pela porção à esquerda sobre a porção à direita é -T\,\partial y/\partial x; multiplicando pela velocidade vertical \partial y/\partial t dá a potência entregue à porção à direita. Não precisamos memorizar o sinal — a fórmula acima é a que se usa.

Passo 3

Calcular as derivadas para y(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
Derivada espacial:
\frac{\partial y}{\partial x}=A k\cos(kx-\omega t).
Derivada temporal:
\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos(kx-\omega t).
Agora substituímos na expressão de potência:
P(x,t) = -T\left(A k\cos(kx-\omega t)\right)\left(-A\omega\cos(kx-\omega t)\right).
Simplificando os sinais e agrupando termos:
P(x,t)=T k\omega A^{2}\cos^{2}(kx-\omega t).
Observações: essa é a potência instantânea em função de x e t. Está sempre não-negativa (porque \cos^{2}\ge0), o que faz sentido: a onda transfere energia em média no sentido de propagação.

Passo 4

Potência média ao longo do tempo (mais útil em provas): calcula-se a média temporal de P(x,t) num período T_{\text{per}}=\dfrac{2\pi}{\omega}. Como P(x,t) depende de \cos^{2}(kx-\omega t), usamos que a média temporal de \cos^{2} sobre um período é 1/2. Logo a potência média é
\langle P\rangle = T k\omega A^{2}\left\langle \cos^{2}(kx-\omega t)\right\rangle = T k\omega A^{2}\cdot\frac{1}{2}.
Portanto
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,T k\omega A^{2}.

Passo 5

Expressões alternativas úteis e relação com \mu e v.
Usando v=\dfrac{\omega}{k} podemos reescrever \langle P\rangle de forma comum em livros:
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,T k\omega A^{2} = \frac{1}{2}\,T k\left(kv\right)A^{2} \quad(\text{pois }\omega=kv)
mas é mais simples usar T=\mu v^{2}. Substituindo T por \mu v^{2} e \omega=kv chegamos a
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\,\mu \omega^{2} A^{2} v.
Essas duas formas são algebraicamente equivalentes; a segunda é muito usada porque mostra claramente dependência: aumenta com \mu, com \omega^{2}, com A^{2} e linearmente com a velocidade de fase v.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem de unidades:
  • Unidade de \langle P\rangle: \mu (kg/m) \times \omega^{2} (s^{-2}) \times A^{2} (m^{2}) \times v (m/s) \Rightarrow kg·m{2}/(m·s{3}) = kg·m{1}/s{3} = W). Ok, dá watts.
  • Física: potência média cresce com o quadrado da amplitude (esperado) e com a frequência ao quadrado; ondas mais rápidas (maior v) transferem mais energia por segundo.

Resposta

P(x,t)=T k\omega A^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)
\langle P\rangle=\dfrac{1}{2}\,T k\omega A^{2}=\dfrac{1}{2}\,\mu \omega^{2}A^{2}v

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