Exercício 19
Considere duas ondas sonoras na posição x=0, descritas por:
\begin{array}{l} s_{1}(x, t)=S \cos (k x-\Omega t) \rightarrow s_{1}(0, t)=S \cos (\Omega t) \\\ s_{2}(x, t)=S \cos (k x-\omega t) \rightarrow s_{1}(0, t)=S \cos (\omega t) \end{array}
com frequências angulares diferentes \Omega e \omega.
(c) Mostre que para \Omega>\omega, mas próximo de \omega (ou seja, \Omega \approx \omega ), existe uma onda modulada por um envelope que varia com frequência de \frac{\Omega-\omega}{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas ondas na posição x=0:
s_{1}(0,t)=S\cos(\Omega t), \qquad s_{2}(0,t)=S\cos(\omega t),
com magnitudes iguais S e frequências angulares diferentes \Omega e \omega. A pergunta (parte (c)) pede que se mostre que, para \Omega>\omega mas com \Omega\approx\omega, a soma das duas ondas forma uma onda portadora rápida modulada por um envelope lento cuja frequência angular é \dfrac{\Omega-\omega}{2}.

Passo 2

Escrevemos a soma das duas ondas em x=0. Essa soma é a superposição linear:
s(0,t)=s_{1}(0,t)+s_{2}(0,t)=S\cos(\Omega t)+S\cos(\omega t).
Vou usar a identidade trigonométrica “soma para produto” que é frequentemente usada para combinar cossenos próximos.

Passo 3

Apresentando e explicando a identidade trigonométrica usada:
\cos A+\cos B = 2\cos\!\bigg(\frac{A+B}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{A-B}{2}\bigg).
O que essa fórmula diz, em palavras, é que a soma de dois cossenos pode ser escrita como o produto de dois cossenos: um com a média dos ângulos \tfrac{A+B}{2} e outro com a metade da diferença \tfrac{A-B}{2}. Essa identidade pode ser obtida diretamente das fórmulas de adição para cosseno ou expandindo exponenciais complexas, mas aqui só vamos usar o resultado. Nas nossas ondas, A=\Omega t e B=\omega t.

Passo 4

Aplicando a identidade ao somatório:
s(0,t)=S\cos(\Omega t)+S\cos(\omega t)=2S\cos\!\bigg(\frac{\Omega t+\omega t}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{\Omega t-\omega t}{2}\bigg).
Simplicando os fatores dentro dos cossenos:
s(0,t)=2S\cos\!\bigg(\frac{\Omega+\omega}{2}\,t\bigg)\cos\!\bigg(\frac{\Omega-\omega}{2}\,t\bigg).

Passo 5

Interpretação física (a “aula” sobre o que isso significa na prática):
  • O fator \cos\!\big(\frac{\Omega+\omega}{2}\,t\big) é a onda portadora rápida: sua frequência angular é \dfrac{\Omega+\omega}{2}, que para \Omega\approx\omega é aproximadamente \Omega (ou \omega). Esse termo oscila rapidamente no tempo.
  • O fator multiplicador \cos\!\big(\frac{\Omega-\omega}{2}\,t\big) é o envelope (a amplitude moduladora). Ele varia com frequência angular
\frac{\Omega-\omega}{2}.
Quando \Omega está muito próximo de \omega, esse segundo cosseno varia bem mais lentamente que o primeiro: isso é exatamente a batida (beat) — a amplitude da onda portadora sobe e desce com essa frequência lenta.
  • Nota sobre frequência em hertz: se quiser a frequência em Hz (número de batidas por segundo), usa-se f_{\text{batida}}=\dfrac{\Omega-\omega}{2\pi}. Os máximos de amplitude (as batidas audíveis) ocorrem com período T_{\text{batida}}=\dfrac{2\pi}{(\Omega-\omega)}, ou seja, a taxa de batidas por segundo é |f_1-f_2|, que é consistente com o entendimento físico usual.

Passo 6

Concluindo de forma prática e encorajadora: a manipulação algébrica com a identidade soma-para-produto mostra claramente a decomposição em um termo rápido (portadora) e um termo lento (envelope). Para a prova, memorize a identidade \cos A+\cos B=2\cos\!\big(\tfrac{A+B}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{A-B}{2}\big) e interprete os dois fatores como portadora e envelope quando as frequências forem próximas — isso resolve questões sobre batimento direto e rapidinho.

Resposta

s(0,t)=2S\cos\!\bigg(\frac{\Omega+\omega}{2}\,t\bigg)\cos\!\bigg(\frac{\Omega-\omega}{2}\,t\bigg)
Frequência angular do envelope: \dfrac{\Omega-\omega}{2}

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