Exercício 19
Considere duas ondas sonoras na posição
, descritas por:
com frequências angulares diferentes
e
.
(c) Mostre que para
, mas próximo de
(ou seja,
), existe uma onda modulada por um envelope que varia com frequência de
.
Considere duas ondas sonoras na posição
Passo 1
O enunciado nos dá duas ondas na posição
:
com magnitudes iguais
e frequências angulares diferentes
e
. A pergunta (parte (c)) pede que se mostre que, para
mas com
, a soma das duas ondas forma uma onda portadora rápida modulada por um envelope lento cuja frequência angular é
.
Passo 2
Escrevemos a soma das duas ondas em
. Essa soma é a superposição linear:
Vou usar a identidade trigonométrica “soma para produto” que é frequentemente usada para combinar cossenos próximos.
Passo 3
Apresentando e explicando a identidade trigonométrica usada:
O que essa fórmula diz, em palavras, é que a soma de dois cossenos pode ser escrita como o produto de dois cossenos: um com a média dos ângulos
e outro com a metade da diferença
. Essa identidade pode ser obtida diretamente das fórmulas de adição para cosseno ou expandindo exponenciais complexas, mas aqui só vamos usar o resultado. Nas nossas ondas,
e
.
Passo 4
Aplicando a identidade ao somatório:
Simplicando os fatores dentro dos cossenos:
Passo 5
Interpretação física (a “aula” sobre o que isso significa na prática):
- O fator
é a onda portadora rápida: sua frequência angular é , que para é aproximadamente (ou ). Esse termo oscila rapidamente no tempo. - O fator multiplicador
é o envelope (a amplitude moduladora). Ele varia com frequência angular
Quando
está muito próximo de
, esse segundo cosseno varia bem mais lentamente que o primeiro: isso é exatamente a batida (beat) — a amplitude da onda portadora sobe e desce com essa frequência lenta.
- Nota sobre frequência em hertz: se quiser a frequência em Hz (número de batidas por segundo), usa-se
. Os máximos de amplitude (as batidas audíveis) ocorrem com período , ou seja, a taxa de batidas por segundo é , que é consistente com o entendimento físico usual.
Passo 6
Concluindo de forma prática e encorajadora: a manipulação algébrica com a identidade soma-para-produto mostra claramente a decomposição em um termo rápido (portadora) e um termo lento (envelope). Para a prova, memorize a identidade
e interprete os dois fatores como portadora e envelope quando as frequências forem próximas — isso resolve questões sobre batimento direto e rapidinho.
Resposta
Frequência angular do envelope: