Exercício 19
Considere duas ondas sonoras na posição x=0, descritas por:
\begin{array}{l} s_{1}(x, t)=S \cos (k x-\Omega t) \rightarrow s_{1}(0, t)=S \cos (\Omega t) \\\ s_{2}(x, t)=S \cos (k x-\omega t) \rightarrow s_{1}(0, t)=S \cos (\omega t) \end{array}
com frequências angulares diferentes \Omega e \omega.
(a) Considere uma superposição das ondas anteriores e mostre que:
$$s_{1}+s_{2}=S \cos (\Omega t)+S \cos (\omega t)

Passo 1

O enunciado dá duas ondas e suas formas em x=0. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dado: s_{1}(x,t)=S\cos(kx-\Omega t)\qquad\text{e}\qquad s_{2}(x,t)=S\cos(kx-\omega t).
  • Também foi informado o valor dessas ondas em x=0: s_{1}(0,t)=S\cos(\Omega t)\qquad\text{e}\qquad s_{2}(0,t)=S\cos(\omega t).
  • Pedido: considerar a superposição (soma) das duas ondas e mostrar que s_{1}+s_{2}=S\cos(\Omega t)+S\cos(\omega t).

Passo 2

Explicando os símbolos (para ficar tudo claro): \,S é a amplitude comum das ondas, k é o número de onda (relacionado ao comprimento de onda), e \Omega e \omega são as frequências angulares diferentes das duas ondas. A superposição linear de ondas significa simplesmente somá-las ponto a ponto no espaço e no tempo: se duas ondas coexistem, o deslocamento total é a soma algebraica dos deslocamentos individuais.

Passo 3

Defino a superposição como a soma das duas funções de onda:
s(x,t)=s_{1}(x,t)+s_{2}(x,t).
Isto é apenas a aplicação do princípio de superposição (adição linear) para campos escalares.

Passo 4

Agora avalio essa soma na posição x=0. Substituo os valores dados em x=0:
s(0,t)=s_{1}(0,t)+s_{2}(0,t).
Pelo enunciado sabemos que s_{1}(0,t)=S\cos(\Omega t) e s_{2}(0,t)=S\cos(\omega t).

Passo 5

Substituindo na expressão da superposição em x=0 obtemos:
s(0,t)=S\cos(\Omega t)+S\cos(\omega t).
Como a igualdade vale para a soma das funções avaliadas em x=0, isso mostra exatamente a relação pedida.

Resposta

s_{1}+s_{2}=S\cos(\Omega t)+S\cos(\omega t)

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