Exercício 19
Considere duas ondas sonoras na posição
, descritas por:
com frequências angulares diferentes
e
.
(a) Considere uma superposição das ondas anteriores e mostre que:
$$s_{1}+s_{2}=S \cos (\Omega t)+S \cos (\omega t)
Considere duas ondas sonoras na posição
Passo 1
O enunciado dá duas ondas e suas formas em
. Vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido.
- Dado:
- Também foi informado o valor dessas ondas em
: - Pedido: considerar a superposição (soma) das duas ondas e mostrar que
Passo 2
Explicando os símbolos (para ficar tudo claro):
é a amplitude comum das ondas,
é o número de onda (relacionado ao comprimento de onda), e
e
são as frequências angulares diferentes das duas ondas. A superposição linear de ondas significa simplesmente somá-las ponto a ponto no espaço e no tempo: se duas ondas coexistem, o deslocamento total é a soma algebraica dos deslocamentos individuais.
Passo 3
Defino a superposição como a soma das duas funções de onda:
Isto é apenas a aplicação do princípio de superposição (adição linear) para campos escalares.
Passo 4
Agora avalio essa soma na posição
. Substituo os valores dados em
:
Pelo enunciado sabemos que
e
.
Passo 5
Substituindo na expressão da superposição em
obtemos:
Como a igualdade vale para a soma das funções avaliadas em
, isso mostra exatamente a relação pedida.