Exercício 05: Sejam A e B eventos tais que
P(A)=\frac{1}{2}, \quad P(B)=\frac{1}{4}, \quad P(A \cap B)=\frac{1}{5} .
Calcular:
P\left(A^{c} \cap B\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular P\left(A^{c} \cap B\right).
Informações dadas:
P(A)=\frac{1}{2},\qquad P(B)=\frac{1}{4},\qquad P(A\cap B)=\frac{1}{5}.

Passo 2

Entender o que é A^{c}\cap B: é a parte de B que está fora de A. Em palavras, ao olhar a região do evento B num diagrama de Venn, ela se divide em duas partes disjuntas: a parte que também está em A (que é A\cap B) e a parte que está em A^{c} (que é A^{c}\cap B). Ou seja,
B=(A\cap B)\cup(A^{c}\cap B),
e as duas partes à direita são disjuntas (não têm interseção).

Passo 3

Como essas duas partes são disjuntas, a probabilidade de B é a soma das probabilidades dessas partes:
P(B)=P(A\cap B)+P(A^{c}\cap B).
Essa é uma propriedade básica de probabilidades para uniões disjuntas: a probabilidade da união é a soma das probabilidades.

Passo 4

Isolando P(A^{c}\cap B) na igualdade acima:
P(A^{c}\cap B)=P(B)-P(A\cap B).
Agora substituímos os valores dados:
P(A^{c}\cap B)=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}.
Fazendo a subtração de frações (múltiplo comum é 20):
\frac{1}{4}=\frac{5}{20},\qquad \frac{1}{5}=\frac{4}{20},
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P(A^{c}\cap B)=\frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\frac{1}{20}.

Resposta

\dfrac{1}{20}

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