Exercício 05: Sejam A e B eventos tais que
P(A)=\frac{1}{2}, \quad P(B)=\frac{1}{4}, \quad P(A \cap B)=\frac{1}{5} .
Calcular:
P\left(A^{c} \cap B^{c}\right);

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
P(A)=\frac{1}{2},\qquad P(B)=\frac{1}{4},\qquad P(A\cap B)=\frac{1}{5}.
A pergunta é: calcular P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr).
Aqui P(\cdot) significa “probabilidade de …”, A^{c} é o complemento de A (ou seja, o evento “A não ocorre”) e B^{c} é o complemento de B.

Passo 2

Usamos a Lei de De Morgan para conjuntos, que diz que o complemento da união é a interseção dos complementos:
A^{c}\cap B^{c}=(A\cup B)^{c}.
Intuição rápida: “nem A nem B” é o mesmo que “não (A ou B)”.

Passo 3

Da regra de probabilidade do complemento temos:
P\bigl((A\cup B)^{c}\bigr)=1-P(A\cup B).
Ou seja, para achar P(A^{c}\cap B^{c}) basta calcular 1-P(A\cup B).

Passo 4

Para P(A\cup B) usamos a fórmula da união de dois eventos (princípio da inclusão-exclusão):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explicação: somamos as probabilidades de A e de B mas subtraímos P(A\cap B) porque essa parte ficou contada duas vezes.

Passo 5

Substituindo os valores dados:
P(A\cup B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}.
Passo a passo para somar/subtrair frações: usar denominador comum 20:
\frac{1}{2}=\frac{10}{20},\qquad \frac{1}{4}=\frac{5}{20},\qquad \frac{1}{5}=\frac{4}{20},
portanto
P(A\cup B)=\frac{10}{20}+\frac{5}{20}-\frac{4}{20}=\frac{11}{20}.

Passo 6

Agora aplicamos o complemento:
P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr)=1-P(A\cup B)=1-\frac{11}{20}=\frac{9}{20}.
Isso é a probabilidade de “nem A nem B”.

Resposta

\frac{9}{20}

Exercícios relacionados