Exercício 05: Sejam A e B eventos tais que
P(A)=\frac{1}{2}, \quad P(B)=\frac{1}{4}, \quad P(A \cap B)=\frac{1}{5} .
Calcular:
P\left(A \cap B^{c}\right);

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
P(A)=\frac{1}{2},\qquad P(B)=\frac{1}{4},\qquad P(A\cap B)=\frac{1}{5}.
A pergunta que precisamos responder é calcular
P\bigl(A\cap B^{c}\bigr).

Passo 2

Entendendo o que é B^{c}: B^{c} é o complemento de B, ou seja, todos os resultados em que B não ocorre. O evento A pode ser particionado em duas partes que não se sobrepõem:
A = (A\cap B)\\ \cup\\ (A\cap B^{c}).
Aqui, (A\cap B) e (A\cap B^{c}) são disjuntos (não têm resultados em comum) e juntos formam todo o evento A.

Passo 3

Como são eventos disjuntos que se juntam para formar A, a probabilidade de A é a soma das probabilidades dessas duas partes. Ou seja,
P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c}).
Essa é uma regra básica de probabilidade: a probabilidade da união de dois eventos disjuntos é a soma das probabilidades.

Passo 4

Isolamos P(A\cap B^{c}) na equação anterior:
P(A\cap B^{c}) = P(A) - P(A\cap B).
Agora substituímos os valores fornecidos no enunciado:
P(A\cap B^{c}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{5}.

Passo 5

Fazendo a subtração de frações passo a passo:
\frac{1}{2}=\frac{5}{10},\qquad \frac{1}{5}=\frac{2}{10},
então
\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}.

Passo 6

Interpretação final (rápida e motivadora): P\bigl(A\cap B^{c}\bigr)=\frac{3}{10} significa que a probabilidade de ocorrer A ao mesmo tempo em que B não ocorre é 0,3. Você já está mandando bem — essa é uma técnica que cai muito em prova: particionar um evento e usar soma de probabilidades.

Resposta

\dfrac{3}{10}

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