Exercício 06
Considere que a equação de onda dada por:
(a) Mostre que a função
năo é uma soluçạo.
Considere que a equação de onda dada por:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de onda
e pede para mostrar que a função
não é uma solução dessa equação.
Informações relevantes:
- A função proposta depende apenas de
: (ou seja, não depende de ). - A equação envolve derivadas parciais de segunda ordem em
e em . - A verificação consiste em calcular as duas derivadas parciais de segunda ordem e checar se a igualdade da equação de onda é satisfeita para todos os
e .
Passo 2
O que significa “ser solução” de uma equação diferencial parcial como essa? Significa que, após substituir a função proposta na equação, as duas expressões (lado esquerdo e lado direito) devem ser iguais para todo par
. Portanto o procedimento é:
- Calcular
. - Calcular
. - Substituir na equação e verificar se a igualdade vale.
Vou fazer isso passo a passo, lembrando o que é derivada parcial quando a função não depende de uma das variáveis.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais em
.
Como
não depende de
, podemos tratar
como constante ao derivar em relação a
. Primeiro derivada em
:
Agora a segunda derivada em
:
Explicando devagar: a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. O resultado é uma constante
, independente de
e de
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais em
.
Como
não contém
, para qualquer derivada parcial em
a função é constante em relação a
. Portanto:
Comentário didático: sempre que uma função não depende de uma variável, todas as derivadas parciais em relação a essa variável são zero.
Passo 5
Substituir os resultados na equação de onda e comparar os dois lados.
O lado esquerdo é
O lado direito é
Para que
fosse solução, deveria valer
para todos os
. Mas isso é impossível:
e
são números diferentes.
Passo 6
Conclusão lógica: a igualdade exigida pela equação de onda não é satisfeita pela função
. Logo,
não é solução da equação de onda.
Observação extra útil para prova: uma função que depende só de
será solução da equação de onda somente se
, isto é, se for um polinômio de grau
em
(função afim
). Isso explica por que
falha: sua segunda derivada em
é não nula.
Resposta
A função
não é solução, pois
e
, logo
.