Exercício 06
Considere que a equação de onda dada por:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} y(x, t)=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} y(x, t) .
(a) Mostre que a função y(x)=x^{2} năo é uma soluçạo.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de onda
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} y(x,t)=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} y(x,t),
e pede para mostrar que a função y(x)=x^{2} não é uma solução dessa equação.
Informações relevantes:
  • A função proposta depende apenas de x: y(x,t)=x^{2} (ou seja, não depende de t).
  • A equação envolve derivadas parciais de segunda ordem em x e em t.
  • A verificação consiste em calcular as duas derivadas parciais de segunda ordem e checar se a igualdade da equação de onda é satisfeita para todos os x e t.

Passo 2

O que significa “ser solução” de uma equação diferencial parcial como essa? Significa que, após substituir a função proposta na equação, as duas expressões (lado esquerdo e lado direito) devem ser iguais para todo par (x,t). Portanto o procedimento é:
  1. Calcular \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}y(x,t).
  2. Calcular \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}y(x,t).
  3. Substituir na equação e verificar se a igualdade vale.
Vou fazer isso passo a passo, lembrando o que é derivada parcial quando a função não depende de uma das variáveis.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em x.
Como y(x,t)=x^{2} não depende de t, podemos tratar t como constante ao derivar em relação a x. Primeiro derivada em x:
\frac{\partial}{\partial x}y(x,t)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Agora a segunda derivada em x:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}y(x,t)=\frac{d}{dx}(2x)=2.
Explicando devagar: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x, e a derivada de 2x é 2. O resultado é uma constante 2, independente de x e de t.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais em t.
Como y(x,t)=x^{2} não contém t, para qualquer derivada parcial em t a função é constante em relação a t. Portanto:
\frac{\partial}{\partial t}y(x,t)=0, \qquad \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}y(x,t)=0.
Comentário didático: sempre que uma função não depende de uma variável, todas as derivadas parciais em relação a essa variável são zero.

Passo 5

Substituir os resultados na equação de onda e comparar os dois lados.
O lado esquerdo é
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}y(x,t)=2.
O lado direito é
\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}y(x,t)=\frac{1}{v^{2}}\cdot 0 = 0.
Para que y(x,t) fosse solução, deveria valer 2=0 para todos os (x,t). Mas isso é impossível: 2 e 0 são números diferentes.

Passo 6

Conclusão lógica: a igualdade exigida pela equação de onda não é satisfeita pela função y(x)=x^{2}. Logo, y(x)=x^{2} não é solução da equação de onda.
Observação extra útil para prova: uma função que depende só de x será solução da equação de onda somente se \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}y=0, isto é, se for um polinômio de grau \le 1 em x (função afim y(x)=ax+b). Isso explica por que x^{2} falha: sua segunda derivada em x é não nula.

Resposta

A função y(x)=x^{2} não é solução, pois \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}y=2 e \dfrac{1}{v^{2}}\dfrac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}y=0, logo 2\neq0.

Exercícios relacionados