Exercício 22
Fenômenos de interferência e difração na experiência de Young. A experiência de Young, também conhecida como experimento da dupla fenda, demonstra a natureza ondulatória da luz por meio da interferência. Nela, um feixe de luz monocromática incide sobre duas fendas próximas, que atuam como fontes coerentes. Ao passar por essas fendas, a luz se difrata e as ondas provenientes de cada abertura se sobrepõem, formando um padrão de franjas claras e escuras em uma tela. As franjas claras ocorrem onde há interferência construtiva (ondas em fase) e as escuras onde há interferência destrutiva (ondas em oposição de fase). Esse resultado não seria esperado caso a luz se comportasse apenas como partícula, sendo uma evidência fundamental do caráter ondulatório da radiação eletromagnética.
(b) Em uma montagem da experiência de Young com luz monocromática, duas fendas estão separadas por uma distância d=0,40 \mathrm{~mm} e a tela de observação está colocada a uma distância L=2,0 \mathrm{~m} das fendas. Ao utilizar uma luz de comprimento de onda \lambda=600 \mathrm{~nm}, observa-se um padrão de franjas claras e escuras na tela.
I. Qual é a distância entre duas franjas claras consecutivas na tela? (ou seja, quanto vale \Delta y ?)
II. A que distância da franja central está localizada a quarta franja clara? (ou seja, quanto vale y_{4} ?)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • d=0{,}40\\ \mathrm{mm}.
    • L=2{,}0\\ \mathrm{m}.
    • \lambda=600\\ \mathrm{nm}.
  • Perguntas:
    I. Qual é a distância entre duas franjas claras consecutivas na tela? (ou seja, \Delta y?)
    II. A que distância da franja central está localizada a quarta franja clara? (ou seja, y_{4}?)

Passo 2

Conceito e fórmula básica (explicação didática): as franjas claras (interferência construtiva) ocorrem quando a diferença de caminho entre as ondas que saem das duas fendas é um múltiplo inteiro da diferença de fase correspondente ao comprimento de onda. Isso é expresso por
d\sin\theta = m\,\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as duas fendas;
  • \theta é o ângulo medido a partir do centro (normal às fendas) até a direção da franja m;
  • m é o número inteiro da franja clara ( m=0 é a central, m=\pm1 as primeiras, etc.);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.
Interpretação prática: queremos a posição y da franja na tela, que está a distância L das fendas. Para ângulos pequenos (situação típica quando L é muito maior que y), usa-se a aproximação
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{y}{L}.
Substituindo em d\sin\theta = m\lambda obtemos a fórmula usada em resolução de provas:
y_m = \frac{m\,\lambda\,L}{d}.
Explicando cada termo em palavras: y_m é a distância da franja de ordem m até a franja central; cresce linearmente com m; a separação entre franjas consecutivas é a mesma e vale \Delta y = \dfrac{\lambda L}{d}.

Passo 3

Derivação da distância entre franjas consecutivas: a distância entre a franja m+1 e a franja m é
\Delta y = y_{m+1}-y_m = \frac{(m+1)\lambda L}{d}-\frac{m\lambda L}{d}=\frac{\lambda L}{d}.
Portanto basta calcular \Delta y=\dfrac{\lambda L}{d} com os dados fornecidos.

Passo 4

Converter todas as unidades para o SI antes de calcular (passo a passo):
  • d=0{,}40\\ \mathrm{mm}=0{,}40\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • \lambda=600\\ \mathrm{nm}=600\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=6{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • L já está em metros: L=2{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo de \Delta y com todas as etapas aritméticas explícitas:
\Delta y=\frac{\lambda L}{d}=\frac{(6{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m})\cdot(2{,}0\\ \mathrm{m})}{4{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}}.
Calcular o numerador:
(6{,}00\times10^{-7})\cdot(2{,}0)=1{,}20\times10^{-6}.
Agora a divisão:
\Delta y=\frac{1{,}20\times10^{-6}}{4{,}0\times10^{-4}}=\left(\frac{1{,}20}{4{,}0}\right)\times10^{-6-(-4)}=0{,}30\times10^{-2}=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros para ficar mais intuitivo:
3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=3{,}0\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Cálculo da posição da quarta franja clara ( m=4):
y_4 = \frac{4\,\lambda L}{d}=4\cdot\Delta y.
Como \Delta y=3{,}0\\ \mathrm{mm},
y_4 = 4\cdot3{,}0\\ \mathrm{mm}=12\\ \mathrm{mm}.
Em unidades do SI:
y_4 = 12\\ \mathrm{mm}=1{,}20\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação da aproximação de ângulo pequeno (para ficar tranquilo na prova): a ordem m=4 tem y_4=0{,}012\\ \mathrm{m}, então \theta_4\approx y_4/L=0{,}012/2{,}0=0{,}006\\ \mathrm{rad}\approx0{,}34^\circ. Esse ângulo é pequeno, logo a aproximação \sin\theta\approx\tan\theta\approx y/L é válida e os resultados estão corretos.

Passo 8

Resumo final e empurrãozinho de incentivo: fizemos a derivação da fórmula, convertemos unidades com cuidado, calculamos passo a passo e verificamos a hipótese de ângulo pequeno. Você já pode replicar esse procedimento para qualquer outro conjunto de dados parecido — é sempre a mesma receita na prova. Força que tá indo bem!

Resposta

\Delta y = 3{,}0\\ \mathrm{mm}
y_{4} = 12\\ \mathrm{mm}

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