Exercício 07: Demonstre que o conectivo " V " exprime-se em função unicamente de " \rightarrow " pela equivalência: p \vee q \Leftrightarrow(p \rightarrow q) \rightarrow p.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a equivalência
p \vee q \Leftrightarrow (p \rightarrow q) \rightarrow p,
isto é, mostrar que a disjunção p \vee q pode ser escrita apenas com o conectivo \rightarrow pela fórmula dada. As informações que temos são apenas as duas fórmulas acima, envolvendo as proposições p e q. O objetivo é verificar se as duas fórmulas têm sempre o mesmo valor lógico para todas as combinações de verdade de p e q.

Passo 2

Vou usar o método mais direto e elementar: comparar os valores verdade linha a linha (tabela verdade implícita). Primeiro recorde rápido de como avaliar uma implicação e uma disjunção:
  • p \vee q é verdadeira sempre que pelo menos uma entre p e q for verdadeira.
  • r \rightarrow s é falsa somente quando r é verdadeira e s é falsa; em todos os outros casos é verdadeira.
Agora avalio as quatro combinações possíveis de (p,q).
  1. Se p=\text{V} e q=\text{V}:
p \vee q = \text{V}.
p \rightarrow q = \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
(p \rightarrow q)\rightarrow p = \text{V}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
Neste caso ambas as fórmulas valem \text{V}.
  1. Se p=\text{V} e q=\text{F}:
p \vee q = \text{V}.
p \rightarrow q = \text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}.
(p \rightarrow q)\rightarrow p = \text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
Neste caso ambas as fórmulas valem \text{V}.
  1. Se p=\text{F} e q=\text{T}:
p \vee q = \text{V}.
p \rightarrow q = \text{F}\rightarrow\text{V}=\text{V}.
(p \rightarrow q)\rightarrow p = \text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}.
Aqui as fórmulas diferem: p\vee q é \text{V} enquanto (p\rightarrow q)\rightarrow p é \text{F}. Isso já basta para concluir que as duas fórmulas NÃO são logicamente equivalentes (porque existe uma atribuição das proposições que dá valores diferentes).
  1. (por completude) Se p=\text{F} e q=\text{F}:
p \vee q = \text{F}.
p \rightarrow q = \text{F}\rightarrow\text{F}=\text{V}.
(p \rightarrow q)\rightarrow p = \text{V}\rightarrow\text{F}=\text{F}.
Aqui ambas são \text{F}.
Conclusão deste passo: a equivalência proposta
p \vee q \Leftrightarrow (p \rightarrow q) \rightarrow p
é falsa (contraexemplo dado por p=\text{F},\,q=\text{T}). Portanto não se pode demonstrá‑la porque não é verdadeira para todos os casos.

Passo 3

Como a intenção do exercício certamente era mostrar que a disjunção pode ser expressa usando apenas \rightarrow, vou explicar a versão correta e demonstrá‑la de forma didática. Primeiro uma identidade muito útil (e elementar):
r \rightarrow s \equiv \neg r \vee s,
ou seja, a implicação é equivalente à disjunção do negativo do antecedente com o consequente. Aqui \neg r é a negação de r.
Também usarei a Lei de De Morgan: \neg(a \vee b) \equiv \neg a \wedge \neg b, e as propriedades distributivas e tautologias básicas, explicando cada passo.

Passo 4

A fórmula correta (uma forma padrão) que expressa p\vee q usando apenas \rightarrow é
p \vee q \Leftrightarrow (p \rightarrow q) \rightarrow q.
Vou provar essa equivalência por manipulação lógica passo a passo, usando a equivalência r\rightarrow s \equiv \neg r \vee s e Leis booleanas simples.
Começo pela esquerda da equivalência que queremos mostrar (a parte direita da fórmula acima):
(p \rightarrow q) \rightarrow q.
Reescrevo cada implicação como disjunção:
p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q,
então
(p \rightarrow q) \rightarrow q \equiv \neg(\neg p \vee q) \vee q.
Aplicando De Morgan em \neg(\neg p \vee q):
\neg(\neg p \vee q) \equiv p \wedge \neg q.
Portanto
(p \rightarrow q) \rightarrow q \equiv (p \wedge \neg q) \vee q.
Agora uso uma forma de distributividade/absorção: (p \wedge \neg q)\vee q é uma das formas canônicas que simplificam para p \vee q. Uma maneira de ver isso é aplicar distributividade:
(p \wedge \neg q)\vee q \equiv (p \vee q) \wedge (\neg q \vee q).
Mas \neg q \vee q é uma tautologia (sempre verdadeira), logo
(p \vee q) \wedge (\neg q \vee q) \equiv p \vee q.
Assim obtém‑se
(p \rightarrow q) \rightarrow q \equiv p \vee q,
o que prova a equivalência desejada.
Observação alternativa (mais intuitiva): (p \wedge \neg q)\vee q significa “ou q é verdadeiro, ou p é verdadeiro e q é falso” — isto é exatamente “p ou q”.

Passo 5

Existe também a forma simétrica
p \vee q \Leftrightarrow (q \rightarrow p) \rightarrow p,
que se obtém trocando p e q na igualdade anterior. Ambas as fórmulas usam apenas \rightarrow e equivalem a p\vee q.

Passo 6

Dicas para prova em prova/exame:
  • Método 1 (mais direto): construir a tabela verdade e mostrar que as colunas coincidem para todas as combinações. É mecânico e seguro.
  • Método 2 (mais elegante): usar a equivalência r\rightarrow s \equiv \neg r \vee s, manipular algebricamente com De Morgan, distributividade e tautologias para simplificar. Isso exige conhecer e aplicar leis booleanas básicas.
  • Sempre que receber uma “proposição de equivalência”, vale checar rápido com um contraexemplo (uma das quatro linhas da tabela verdade) — se achar uma linha que quebra a igualdade, a equivalência é falsa.
Força aí — você já viu o contraexemplo que derruba a fórmula do enunciado e aprendeu a forma correta e a prova passo a passo.

Resposta

A equivalência proposta é falsa. A expressão correta que representa p\vee q usando apenas \rightarrow é
p \vee q \Leftrightarrow (p \rightarrow q) \rightarrow q
(ou, simetricamente,
p \vee q \Leftrightarrow (q \rightarrow p) \rightarrow p).

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