Exercício 07: Demonstre que o conectivo "
" exprime-se em função unicamente de "
" pela equivalência:
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a equivalência
isto é, mostrar que a disjunção
pode ser escrita apenas com o conectivo
pela fórmula dada. As informações que temos são apenas as duas fórmulas acima, envolvendo as proposições
e
. O objetivo é verificar se as duas fórmulas têm sempre o mesmo valor lógico para todas as combinações de verdade de
e
.
Passo 2
Vou usar o método mais direto e elementar: comparar os valores verdade linha a linha (tabela verdade implícita). Primeiro recorde rápido de como avaliar uma implicação e uma disjunção:
-
é verdadeira sempre que pelo menos uma entre e for verdadeira. -
é falsa somente quando é verdadeira e é falsa; em todos os outros casos é verdadeira.
Agora avalio as quatro combinações possíveis de
.
- Se
e :
Neste caso ambas as fórmulas valem
.
- Se
e :
Neste caso ambas as fórmulas valem
.
- Se
e :
Aqui as fórmulas diferem:
é
enquanto
é
. Isso já basta para concluir que as duas fórmulas NÃO são logicamente equivalentes (porque existe uma atribuição das proposições que dá valores diferentes).
- (por completude) Se
e :
Aqui ambas são
.
Conclusão deste passo: a equivalência proposta
é falsa (contraexemplo dado por
). Portanto não se pode demonstrá‑la porque não é verdadeira para todos os casos.
Passo 3
Como a intenção do exercício certamente era mostrar que a disjunção pode ser expressa usando apenas
, vou explicar a versão correta e demonstrá‑la de forma didática. Primeiro uma identidade muito útil (e elementar):
ou seja, a implicação é equivalente à disjunção do negativo do antecedente com o consequente. Aqui
é a negação de
.
Também usarei a Lei de De Morgan:
, e as propriedades distributivas e tautologias básicas, explicando cada passo.
Passo 4
A fórmula correta (uma forma padrão) que expressa
usando apenas
é
Vou provar essa equivalência por manipulação lógica passo a passo, usando a equivalência
e Leis booleanas simples.
Começo pela esquerda da equivalência que queremos mostrar (a parte direita da fórmula acima):
Reescrevo cada implicação como disjunção:
então
Aplicando De Morgan em
:
Portanto
Agora uso uma forma de distributividade/absorção:
é uma das formas canônicas que simplificam para
. Uma maneira de ver isso é aplicar distributividade:
Mas
é uma tautologia (sempre verdadeira), logo
Assim obtém‑se
o que prova a equivalência desejada.
Observação alternativa (mais intuitiva):
significa “ou
é verdadeiro, ou
é verdadeiro e
é falso” — isto é exatamente “p ou q”.
Passo 5
Existe também a forma simétrica
que se obtém trocando
e
na igualdade anterior. Ambas as fórmulas usam apenas
e equivalem a
.
Passo 6
Dicas para prova em prova/exame:
- Método 1 (mais direto): construir a tabela verdade e mostrar que as colunas coincidem para todas as combinações. É mecânico e seguro.
- Método 2 (mais elegante): usar a equivalência
, manipular algebricamente com De Morgan, distributividade e tautologias para simplificar. Isso exige conhecer e aplicar leis booleanas básicas. - Sempre que receber uma “proposição de equivalência”, vale checar rápido com um contraexemplo (uma das quatro linhas da tabela verdade) — se achar uma linha que quebra a igualdade, a equivalência é falsa.
Força aí — você já viu o contraexemplo que derruba a fórmula do enunciado e aprendeu a forma correta e a prova passo a passo.
Resposta
A equivalência proposta é falsa. A expressão correta que representa
usando apenas
é
(ou, simetricamente,