Exercício 08: Demonstre que a negação conjunta e a negação disjunta gozam da propriedade comutativa. isto é:
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre a propriedade comutativa para as duas operações “negação conjunta” e “negação disjunta”. Ou seja, mostrar duas equivalências:
e
Informações dadas (definições que vamos usar — estas são as únicas coisas que precisamos do enunciado):
- A negação conjunta está definida por
- A negação disjunta está definida por
O objetivo é provar que cada uma dessas fórmulas é invariante à troca de
com
(ou seja, que são comutativas).
Passo 2
Explicação das ideias básicas (aulas rápidas necessárias antes da prova):
- O conectivo lógico “ou” disjuntivo
tem a propriedade comutativa:
isto é, trocar a ordem dos argumentos de um “ou” não altera o valor lógico. Essa propriedade pode ser vista com a tabela-verdade do
(mais adiante mostramos) ou entendida intuitivamente: “
ou
” é a mesma afirmação que “
ou
”.
- O conectivo lógico “e” conjuntivo
também é comutativo:
- A negação
aplica-se ao valor lógico resultante de uma expressão; se duas expressões são logicamente equivalentes, suas negações também são logicamente equivalentes. Formalmente, se então .
Usaremos essas três ideias-chave para provar as equivalências pedidas.
Passo 3
Prova algébrica (curta e direta) para a negação conjunta
:
Começamos da definição:
Começamos da definição:
Pela comutatividade do
temos
Aplicando a negação em ambos os lados (regra: negar duas expressões logicamente equivalentes preserva a equivalência) obtemos
Pelo significado da negação conjunta no segundo membro, isso é exatamente
Portanto a negação conjunta é comutativa.
Passo 4
Prova algébrica para a negação disjunta
:
Começamos da definição:
Começamos da definição:
Pela comutatividade do
temos
Negando ambos os lados:
Pelo significado da negação disjunta no segundo membro isso é
Logo a negação disjunta também é comutativa.
Passo 5
Verificação por tabela-verdade (opcional, boa prática para prova): listar todas as valorações de
e
e ver que as colunas coincidem.
Tabela para
(
):
Repare que se trocarmos
e
a coluna de
não muda (por comutatividade), portanto a coluna de
também não muda, mostrando que
e
têm a mesma coluna de valores verdade — logo são logicamente equivalentes.
Tabela para
(
):
Aqui também a coluna de
é invariante pela troca de
e
, então a coluna de
é igualmente invariante, mostrando que
e
têm os mesmos valores em todas as valorações — portanto são equivalentes.
Passo 6
Comentário final rápido e dicas para a prova:
- A maneira mais curta em prova é usar que
e são comutativos e que aplicar preserva equivalências; escrever as duas linhas algébricas (como nos Passos 3 e 4) é suficiente. - Se tiver dúvida, monte a tabela-verdade com as quatro valorações de
— é mecânico e infalível. - Respire fundo: mostrar comutatividade para conectivos que são negações de operações comutativas costuma ser bem direto — basta lembrar que negar uma equivalência produz outra equivalência.