Exercício 08: Demonstre que a negação conjunta e a negação disjunta gozam da propriedade comutativa. isto é:
p \downarrow q \Leftrightarrow q \downarrow p \quad \text { e } \quad p \uparrow q \Leftrightarrow q \uparrow p

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre a propriedade comutativa para as duas operações “negação conjunta” e “negação disjunta”. Ou seja, mostrar duas equivalências:
p \downarrow q \Leftrightarrow q \downarrow p
e
p \uparrow q \Leftrightarrow q \uparrow p.
Informações dadas (definições que vamos usar — estas são as únicas coisas que precisamos do enunciado):
  • A negação conjunta está definida por
p \downarrow q \equiv \neg (p \vee q).
  • A negação disjunta está definida por
p \uparrow q \equiv \neg (p \wedge q).
O objetivo é provar que cada uma dessas fórmulas é invariante à troca de p com q (ou seja, que são comutativas).

Passo 2

Explicação das ideias básicas (aulas rápidas necessárias antes da prova):
  • O conectivo lógico “ou” disjuntivo \vee tem a propriedade comutativa:
p \vee q \Leftrightarrow q \vee p,
isto é, trocar a ordem dos argumentos de um “ou” não altera o valor lógico. Essa propriedade pode ser vista com a tabela-verdade do \vee (mais adiante mostramos) ou entendida intuitivamente: “ p ou q” é a mesma afirmação que “ q ou p”.
  • O conectivo lógico “e” conjuntivo \wedge também é comutativo:
p \wedge q \Leftrightarrow q \wedge p.
  • A negação \neg aplica-se ao valor lógico resultante de uma expressão; se duas expressões são logicamente equivalentes, suas negações também são logicamente equivalentes. Formalmente, se \alpha \Leftrightarrow \beta então \neg\alpha \Leftrightarrow \neg\beta.
Usaremos essas três ideias-chave para provar as equivalências pedidas.

Passo 3

Prova algébrica (curta e direta) para a negação conjunta \downarrow:
Começamos da definição:
p \downarrow q \equiv \neg (p \vee q).
Pela comutatividade do \vee temos
p \vee q \Leftrightarrow q \vee p.
Aplicando a negação em ambos os lados (regra: negar duas expressões logicamente equivalentes preserva a equivalência) obtemos
\neg (p \vee q) \Leftrightarrow \neg (q \vee p).
Pelo significado da negação conjunta no segundo membro, isso é exatamente
p \downarrow q \Leftrightarrow q \downarrow p.
Portanto a negação conjunta é comutativa.

Passo 4

Prova algébrica para a negação disjunta \uparrow:
Começamos da definição:
p \uparrow q \equiv \neg (p \wedge q).
Pela comutatividade do \wedge temos
p \wedge q \Leftrightarrow q \wedge p.
Negando ambos os lados:
\neg (p \wedge q) \Leftrightarrow \neg (q \wedge p).
Pelo significado da negação disjunta no segundo membro isso é
p \uparrow q \Leftrightarrow q \uparrow p.
Logo a negação disjunta também é comutativa.

Passo 5

Verificação por tabela-verdade (opcional, boa prática para prova): listar todas as valorações de p e q e ver que as colunas coincidem.
Tabela para \downarrow ( \neg(p\vee q)):
\begin{array}{c c | c | c} p & q & p \vee q & \neg(p \vee q)\\hline \top & \top & \top & \bot\\\ \top & \bot & \top & \bot\\\ \bot & \top & \top & \bot\\\ \bot & \bot & \bot & \top \end{array}
Repare que se trocarmos p e q a coluna de p\vee q não muda (por comutatividade), portanto a coluna de \neg(p\vee q) também não muda, mostrando que p\downarrow q e q\downarrow p têm a mesma coluna de valores verdade — logo são logicamente equivalentes.
Tabela para \uparrow ( \neg(p\wedge q)):
\begin{array}{c c | c | c} p & q & p \wedge q & \neg(p \wedge q)\\hline \top & \top & \top & \bot\\\ \top & \bot & \bot & \top\\\ \bot & \top & \bot & \top\\\ \bot & \bot & \bot & \top \end{array}
Aqui também a coluna de p\wedge q é invariante pela troca de p e q, então a coluna de \neg(p\wedge q) é igualmente invariante, mostrando que p\uparrow q e q\uparrow p têm os mesmos valores em todas as valorações — portanto são equivalentes.

Passo 6

Comentário final rápido e dicas para a prova:
  • A maneira mais curta em prova é usar que \vee e \wedge são comutativos e que aplicar \neg preserva equivalências; escrever as duas linhas algébricas (como nos Passos 3 e 4) é suficiente.
  • Se tiver dúvida, monte a tabela-verdade com as quatro valorações de p,q — é mecânico e infalível.
  • Respire fundo: mostrar comutatividade para conectivos que são negações de operações comutativas costuma ser bem direto — basta lembrar que negar uma equivalência produz outra equivalência.

Resposta

p \downarrow q \Leftrightarrow q \downarrow p
p \uparrow q \Leftrightarrow q \uparrow p

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