Exercício 2 Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
f(x, y)=\operatorname{sec} (3 x) \operatorname{tg}(y) no (0, \pi / 4)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A função é f(x,y)=\operatorname{sec}(3x)\,\operatorname{tg}(y).
  • O ponto onde devemos calcular o limite é (0,\pi/4).
  • Pergunta: calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} \operatorname{sec}(3x)\,\operatorname{tg}(y).

Passo 2

O que significa esse limite (intuição usada na prova):
  • Dizer que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L significa que, ao aproximarmos (x,y) de (a,b) por qualquer caminho, os valores f(x,y) ficam arbitrariamente próximos de L.
  • Uma maneira prática de calcular limites em várias variáveis é usar regras de limites: se duas funções têm limites finitos em (a,b), o limite do produto é o produto dos limites. Outra forma é usar que funções compostas e funções elementares contínuas têm limite igual ao valor da função no ponto (se estiverem definidas e não tiver divisão por zero lá).
    Vou usar essas propriedades (produto de limites e continuidade de funções trigonométricas quando não há singularidade).

Passo 3

Verificar domínio e possíveis problemas no ponto:
  • \operatorname{sec}(3x)=\dfrac{1}{\cos(3x)}. Portanto \operatorname{sec}(3x) está bem definida quando \cos(3x)\neq0.
  • \operatorname{tg}(y)=\tan(y)=\dfrac{\sin(y)}{\cos(y)}. Portanto \tan(y) está bem definida quando \cos(y)\neq0.
  • Avaliando no ponto dado:
    • \cos(3\cdot 0)=\cos(0)=1\neq 0.
    • \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\neq 0.
  • Conclusão: no ponto (0,\pi/4) ambas as funções estão definidas e finitas. Como \cos é contínua, existe uma vizinhança de (0,\pi/4) onde \cos(3x) e \cos(y) permanecem não nulos, logo \operatorname{sec}(3x) e \tan(y) são bem comportadas (contínuas) nessa vizinhança. Não há singularidade a impedir o uso das regras de limite.

Passo 4

Recordando propriedades úteis (mini-aula):
  • Se g é contínua em c e \lim_{t\to c} h(t)=c, então \lim_{t\to c} g(h(t))=g\text{(c)}. Em várias variáveis a ideia é análoga: se g é contínua em um ponto e a composição faz sentido, o limite da composição é a composição dos limites.
  • Limite do produto: se \lim_{(x,y)\to P} u(x,y)=U e \lim_{(x,y)\to P} v(x,y)=V existem e são finitos, então \lim_{(x,y)\to P} u(x,y)v(x,y)=UV.
  • Aplicando aos nossos casos: \operatorname{sec} e \tan (como funções de uma variável) são contínuas em pontos onde estão definidas (ou seja, onde o cosseno não é zero). Logo podemos passar limites pela composição.

Passo 5

Calcular o limite da primeira componente \operatorname{sec}(3x):
  • Primeiro calcule o limite de 3x quando (x,y)\to(0,\pi/4). Como 3x depende só de x, temos \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} 3x = 3\cdot 0 = 0.
  • Como \operatorname{sec}(t) é contínua em t=0 (porque \cos(0)=1\neq 0), vale \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} \operatorname{sec}(3x) = \operatorname{sec}\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} 3x\bigr) = \operatorname{sec}(0).
  • E \operatorname{sec}(0)=\dfrac{1}{\cos(0)}=\dfrac{1}{1}=1.

Passo 6

Calcular o limite da segunda componente \operatorname{tg}(y):
  • Como \tan(y) depende só de y, temos \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} y = \pi/4.
  • \tan é contínua em y=\pi/4 (porque \cos(\pi/4)\neq 0), logo \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} \operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} y\bigr) = \operatorname{tg}\bigl(\pi/4\bigr).
  • E \operatorname{tg}(\pi/4)=\tan(\pi/4)=1.

Passo 7

Aplicar a regra do produto e concluir:
  • Já que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} \operatorname{sec}(3x)=1 e \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} \operatorname{tg}(y)=1, pelo limite do produto \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,\pi/4)} \operatorname{sec}(3x)\,\operatorname{tg}(y) = 1\cdot 1 = 1.
  • Uma verificação extra por caminhos: se fixarmos x=0 e y\to\pi/4 obtemos \operatorname{sec}(0)\tan(y)\to 1\cdot 1; se fixarmos y=\pi/4 e x\to 0 obtemos \operatorname{sec}(3x)\tan(\pi/4)\to 1\cdot 1. Todos os caminhos dão o mesmo valor, consistente com o resultado.

Resposta

1

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