Exercício 2 Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
no
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A função é
. - O ponto onde devemos calcular o limite é
. - Pergunta: calcular
.
Passo 2
O que significa esse limite (intuição usada na prova):
- Dizer que
significa que, ao aproximarmos de por qualquer caminho, os valores ficam arbitrariamente próximos de . - Uma maneira prática de calcular limites em várias variáveis é usar regras de limites: se duas funções têm limites finitos em
, o limite do produto é o produto dos limites. Outra forma é usar que funções compostas e funções elementares contínuas têm limite igual ao valor da função no ponto (se estiverem definidas e não tiver divisão por zero lá).
Vou usar essas propriedades (produto de limites e continuidade de funções trigonométricas quando não há singularidade).
Passo 3
Verificar domínio e possíveis problemas no ponto:
-
. Portanto está bem definida quando . -
. Portanto está bem definida quando . - Avaliando no ponto dado:
-
. -
.
-
- Conclusão: no ponto
ambas as funções estão definidas e finitas. Como é contínua, existe uma vizinhança de onde e permanecem não nulos, logo e são bem comportadas (contínuas) nessa vizinhança. Não há singularidade a impedir o uso das regras de limite.
Passo 4
Recordando propriedades úteis (mini-aula):
- Se
é contínua em e , então . Em várias variáveis a ideia é análoga: se é contínua em um ponto e a composição faz sentido, o limite da composição é a composição dos limites. - Limite do produto: se
e existem e são finitos, então . - Aplicando aos nossos casos:
e (como funções de uma variável) são contínuas em pontos onde estão definidas (ou seja, onde o cosseno não é zero). Logo podemos passar limites pela composição.
Passo 5
Calcular o limite da primeira componente
:
- Primeiro calcule o limite de
quando . Como depende só de , temos . - Como
é contínua em (porque ), vale - E
.
Passo 6
Calcular o limite da segunda componente
:
- Como
depende só de , temos . -
é contínua em (porque ), logo - E
.
Passo 7
Aplicar a regra do produto e concluir:
- Já que
e , pelo limite do produto - Uma verificação extra por caminhos: se fixarmos
e obtemos ; se fixarmos e obtemos . Todos os caminhos dão o mesmo valor, consistente com o resultado.