Exercício 06
Considere que a equação de onda dada por:
(d) Avalie se a função
é solução.
Considere que a equação de onda dada por:
Passo 1
O enunciado dá a equação de onda
e pede para avaliar se a função
(interpreto como
) é solução.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função considerada é
com . - A pergunta é: ao substituir essa função na equação da onda, a igualdade fica satisfeita para todo
? Se não for para todo , quais condições sobre tornam a igualdade verdadeira?
Passo 2
Vamos simplificar a notação definindo
. Assim a função fica
Antes de calcular as segundas derivadas, lembro a regra de cadeia para derivadas parciais: se
então
e, aplicando novamente, obtemos as segundas derivadas. Aqui
e
,
.
Passo 3
Calculo de
e
:
portanto
Derivando novamente em relação a
,
Como
, podemos escrever
Passo 4
Calculo de
e
:
logo
Derivando novamente em relação a
,
Portanto também obtemos
Passo 5
Agora substituímos as segundas derivadas na equação da onda:
A equação exige
Se
fosse identicamente zero a igualdade valeria para qualquer
, mas
não é a função zero para todos
. Cancelando
(válido quando
), obtemos
Como
representa uma velocidade positiva, concluímos
.
Passo 6
Interpretação intuitiva:
é uma onda que se propaga com velocidade
. A equação da onda que foi dada tem parâmetro
que é precisamente a velocidade de propagação dessa equação. Portanto só quando
coincide com a velocidade da onda (aqui
) a função é solução.