Exercício 06
Considere que a equação de onda dada por:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} y(x, t)=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} y(x, t) .
(d) Avalie se a função y(x)=\operatorname{sen}(x-t) é solução.

Passo 1

O enunciado dá a equação de onda
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} y(x,t)=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} y(x,t)
e pede para avaliar se a função y(x)=\operatorname{sen}(x-t) (interpreto como y(x,t)=\sin(x-t)) é solução.
Informações relevantes:
  • A função considerada é y(x,t)=\sin(\xi) com \xi=x-t.
  • A pergunta é: ao substituir essa função na equação da onda, a igualdade fica satisfeita para todo (x,t)? Se não for para todo (x,t), quais condições sobre v tornam a igualdade verdadeira?

Passo 2

Vamos simplificar a notação definindo \xi=x-t. Assim a função fica
y(x,t)=\sin(\xi).
Antes de calcular as segundas derivadas, lembro a regra de cadeia para derivadas parciais: se y(x,t)=f(\xi(x,t)) então
\frac{\partial y}{\partial x}=f'(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial x},\qquad \frac{\partial y}{\partial t}=f'(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial t},
e, aplicando novamente, obtemos as segundas derivadas. Aqui f(\xi)=\sin(\xi) e f'(\xi)=\cos(\xi), f''(\xi)=-\sin(\xi).

Passo 3

Calculo de \partial y/\partial x e \partial^2 y/\partial x^2:
\frac{\partial \xi}{\partial x}=1,
portanto
\frac{\partial y}{\partial x}=f'(\xi)\cdot 1=\cos(\xi).
Derivando novamente em relação a x,
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{d}{d x}\big(\cos(\xi)\big) =\big(-\sin(\xi)\big)\frac{\partial \xi}{\partial x}=-\sin(\xi).
Como \sin(\xi)=y, podemos escrever
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-y.

Passo 4

Calculo de \partial y/\partial t e \partial^2 y/\partial t^2:
\frac{\partial \xi}{\partial t}=-1,
logo
\frac{\partial y}{\partial t}=f'(\xi)\cdot(-1)=-\cos(\xi).
Derivando novamente em relação a t,
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{d}{d t}\big(-\cos(\xi)\big) =-\big(-\sin(\xi)\big)\frac{\partial \xi}{\partial t}=-\big(-\sin(\xi)\big)(-1)=-\sin(\xi).
Portanto também obtemos
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-y.

Passo 5

Agora substituímos as segundas derivadas na equação da onda:
\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=-y,\qquad \frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=-y.
A equação exige
-y=\frac{1}{v^{2}}(-y).
Se -y fosse identicamente zero a igualdade valeria para qualquer v, mas \sin(x-t) não é a função zero para todos (x,t). Cancelando -y (válido quando y\neq0), obtemos
1=\frac{1}{v^{2}} \quad\Rightarrow\quad v^{2}=1.
Como v representa uma velocidade positiva, concluímos v=1.

Passo 6

Interpretação intuitiva: \sin(x-t) é uma onda que se propaga com velocidade 1. A equação da onda que foi dada tem parâmetro v que é precisamente a velocidade de propagação dessa equação. Portanto só quando v coincide com a velocidade da onda (aqui 1) a função é solução.

Resposta

y(x,t)=\sin(x-t) é solução da equação da onda se, e somente se, v=1.

Exercícios relacionados