Exercício 08: Mostre que (x=y \vee x<4) \wedge x<4 \Rightarrow x=y.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar a validade da implicação
(x=y \vee x<4)\wedge x<4 \Rightarrow x=y.
Informações dadas:
  • O antecedente é a fórmula (x=y \vee x<4)\wedge x<4.
  • O consequente é a fórmula x=y.
  • Não há restrição adicional sobre x e y (podem ser quaisquer valores onde as relações = e < façam sentido).

Passo 2

Entendendo as conectivas lógicas (uma mini-aula):
  • \wedge significa “e” (conjunção): P\wedge Q é verdade só quando P e Q são verdadeiros.
  • \vee significa “ou” (disjunção inclusiva): P\vee Q é verdade quando pelo menos um entre P ou Q é verdadeiro.
  • \Rightarrow é a implicação: P\Rightarrow Q é falsa somente quando P é verdadeiro e Q é falso; nos outros casos é verdadeira.
    Explicação prática da implicação: para mostrar que \;P\Rightarrow Q\; é falsa basta encontrar um caso onde P é verdadeiro e Q é falso (um contraexemplo). Para mostrar que é verdadeira para todos os casos seria preciso provar que sempre que P é verdadeiro então Q também é verdadeiro.

Passo 3

Simplificar o antecedente usando uma lei lógica (lei da absorção):
Sejam A e B fórmulas quaisquer. Vale a identidade
B\wedge (A\vee B)\equiv B.
Prova dessa identidade passo a passo (usando distributividade e idempotência):
B\wedge (A\vee B)= (B\wedge A)\vee (B\wedge B).
Como B\wedge B\equiv B (idempotência), isso vira
(B\wedge A)\vee B.
E como B\vee (B\wedge A)\equiv B (por absorção), concluímos
B\wedge (A\vee B)\equiv B.

Passo 4

Aplicando a identidade ao nosso caso com A\equiv (x=y) e B\equiv (x<4), o antecedente simplifica:
(x=y \vee x<4)\wedge x<4 \equiv x<4.
Assim a implicação original é logicamente equivalente a
x<4 \Rightarrow x=y.

Passo 5

Agora procuramos um contraexemplo para mostrar que x<4 \Rightarrow x=y não é válida em geral. Lembre que uma implicação é falsa apenas se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
Escolhendo valores concretos: tome x=0 e y=1.
  • Avaliando o antecedente x<4: com x=0 temos 0<4, logo o antecedente é verdadeiro.
  • Avaliando o consequente x=y: com x=0 e y=1 temos 0=1, que é falso.
Portanto, para x=0 e y=1 o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, o que torna a implicação falsa. Assim a fórmula original não é válida.

Passo 6

Conclusão didática e dica para a prova: quando ver uma fórmula do tipo (A\vee B)\wedge B\Rightarrow A, use a lei da absorção para simplificar o antecedente para B. A seguir, verifique se B\Rightarrow A é válido; se não for, basta dar um contraexemplo (valores que tornam B verdadeiro e A falso). Isso economiza trabalho em prova.

Resposta

A implicação não é válida. Contraexemplo: x=0,\;y=1 (antecedente verdadeiro e consequente falso).

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