Exercício 08: Mostre que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar a validade da implicação
Informações dadas:
- O antecedente é a fórmula
. - O consequente é a fórmula
. - Não há restrição adicional sobre
e (podem ser quaisquer valores onde as relações e façam sentido).
Passo 2
Entendendo as conectivas lógicas (uma mini-aula):
-
significa “e” (conjunção): é verdade só quando e são verdadeiros. -
significa “ou” (disjunção inclusiva): é verdade quando pelo menos um entre ou é verdadeiro. -
é a implicação: é falsa somente quando é verdadeiro e é falso; nos outros casos é verdadeira.
Explicação prática da implicação: para mostrar queé falsa basta encontrar um caso onde é verdadeiro e é falso (um contraexemplo). Para mostrar que é verdadeira para todos os casos seria preciso provar que sempre que é verdadeiro então também é verdadeiro.
Passo 3
Simplificar o antecedente usando uma lei lógica (lei da absorção):
Sejam e
fórmulas quaisquer. Vale a identidade
Sejam
Prova dessa identidade passo a passo (usando distributividade e idempotência):
Como
(idempotência), isso vira
E como
(por absorção), concluímos
Passo 4
Aplicando a identidade ao nosso caso com
e
, o antecedente simplifica:
Assim a implicação original é logicamente equivalente a
Passo 5
Agora procuramos um contraexemplo para mostrar que
não é válida em geral. Lembre que uma implicação é falsa apenas se o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso.
Escolhendo valores concretos: tome
e
.
- Avaliando o antecedente
: com temos , logo o antecedente é verdadeiro. - Avaliando o consequente
: com e temos , que é falso.
Portanto, para
e
o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, o que torna a implicação falsa. Assim a fórmula original não é válida.
Passo 6
Conclusão didática e dica para a prova: quando ver uma fórmula do tipo
, use a lei da absorção para simplificar o antecedente para
. A seguir, verifique se
é válido; se não for, basta dar um contraexemplo (valores que tornam
verdadeiro e
falso). Isso economiza trabalho em prova.
Resposta
A implicação não é válida. Contraexemplo:
(antecedente verdadeiro e consequente falso).