Exercício 05: Mostre que,
q \Rightarrow p \wedge q \leftrightarrow p

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a validade da fórmula. Vou interpretar o enunciado como a afirmação
q \Rightarrow \bigl(p \wedge q \leftrightarrow p\bigr).
Ou seja: mostrar que, sempre que q for verdadeira, a bicondicional \,p \wedge q \leftrightarrow p será verdadeira. Não há outros dados numéricos; o objetivo é provar essa implicação lógica.

Passo 2

Relembrando o significado dos conectivos (de forma simples e direta):
  • \;A\wedge B\; é verdadeira somente se A e B forem ambas verdadeiras.
  • \;A\Rightarrow B\; (implicação) é falsa somente quando A é verdadeira e B é falsa; nos demais casos é verdadeira.
  • \;A\leftrightarrow B\; (bicondicional) é verdadeira quando A e B têm o mesmo valor de verdade (ambas verdadeiras ou ambas falsas). Equivalentemente,
A\leftrightarrow B \equiv (A\Rightarrow B)\wedge(B\Rightarrow A).

Passo 3

Estratégia prática: mostrar que, sob a hipótese q, ambas as implicações que definem a bicondicional são verdadeiras:
q \Rightarrow \bigl((p\wedge q)\Rightarrow p\bigr) \qquad\text{e}\qquad q \Rightarrow \bigl(p\Rightarrow (p\wedge q)\bigr).
Se conseguirmos as duas, então teremos
q \Rightarrow \bigl((p\wedge q)\Rightarrow p\bigr)\wedge\bigl(p\Rightarrow (p\wedge q)\bigr)
o que, por definição, é exatamente
q \Rightarrow \bigl(p\wedge q\leftrightarrow p\bigr).

Passo 4

Mostrando a primeira implicação:
(p\wedge q)\Rightarrow p
Isso é uma verdade lógica elementar: se p\wedge q é verdadeira então, por definição de \wedge, p é verdadeira. Logo (p\wedge q)\Rightarrow p é uma tautologia (é verdadeira em todas as valorações). Portanto também vale
q \Rightarrow \bigl((p\wedge q)\Rightarrow p\bigr),
pois uma implicação com consequente tautológico é sempre verdadeira (mais formalmente: se o consequente é sempre verdadeiro, então a implicação é sempre verdadeira, independentemente do antecedente).

Passo 5

Mostrando a segunda implicação, mas observando que aqui precisamos usar a hipótese q:
Queremos verificar
q \Rightarrow \bigl(p\Rightarrow (p\wedge q)\bigr).
Raciocínio direto: suponha q verdadeira (esta é a hipótese do antecedente da implicação global). Sob essa suposição, p\wedge q tem exatamente o mesmo valor de verdade que p porque q é conhecida como verdadeira; isto é, quando q é verdadeira temos
p\wedge q \text{ é equivalente a } p\wedge\text{(verdade)}\text{, ou seja a } p.é
Portanto, sob q verdadeira, a implicação p\Rightarrow(p\wedge q) fica equivalente a p\Rightarrow p, que é tautologia (sempre verdadeira). Assim, sob a hipótese q a implicação p\Rightarrow(p\wedge q) é verdadeira, ou em sintaxe:
q \Rightarrow \bigl(p\Rightarrow (p\wedge q)\bigr).

Passo 6

Juntando os dois resultados dos passos anteriores temos
q \Rightarrow \bigl((p\wedge q)\Rightarrow p\bigr) \qquad\text{e}\qquad q \Rightarrow \bigl(p\Rightarrow (p\wedge q)\bigr).
Tomando a conjunção dessas duas implicações (que é a definição de bicondicional), obtemos
q \Rightarrow \bigl((p\wedge q)\Rightarrow p\bigr)\wedge\bigl(p\Rightarrow (p\wedge q)\bigr),
e por definição de \leftrightarrow isso é exatamente
q \Rightarrow \bigl(p\wedge q \leftrightarrow p\bigr).

Passo 7

Interpretação final e verificação por tabela rápida (intuição): quando q é verdadeira, p\wedge q vale exatamente o mesmo que p (porque p\wedge \text{verdade}=p), logo p\wedge q\leftrightarrow p é verdadeira; quando q é falsa a implicação q\Rightarrow(\dots) é automaticamente verdadeira. Assim, em todas as valorações a fórmula
q \Rightarrow \bigl(p\wedge q \leftrightarrow p\bigr)
é verdadeira.

Resposta

\models q \Rightarrow \bigl(p \wedge q \leftrightarrow p\bigr)

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