Exercício 05: Mostre que,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a validade da fórmula. Vou interpretar o enunciado como a afirmação
Ou seja: mostrar que, sempre que
for verdadeira, a bicondicional
será verdadeira. Não há outros dados numéricos; o objetivo é provar essa implicação lógica.
Passo 2
Relembrando o significado dos conectivos (de forma simples e direta):
-
é verdadeira somente se e forem ambas verdadeiras. -
(implicação) é falsa somente quando é verdadeira e é falsa; nos demais casos é verdadeira. -
(bicondicional) é verdadeira quando e têm o mesmo valor de verdade (ambas verdadeiras ou ambas falsas). Equivalentemente,
Passo 3
Estratégia prática: mostrar que, sob a hipótese
, ambas as implicações que definem a bicondicional são verdadeiras:
Se conseguirmos as duas, então teremos
o que, por definição, é exatamente
Passo 4
Mostrando a primeira implicação:
Isso é uma verdade lógica elementar: se
é verdadeira então, por definição de
,
é verdadeira. Logo
é uma tautologia (é verdadeira em todas as valorações). Portanto também vale
pois uma implicação com consequente tautológico é sempre verdadeira (mais formalmente: se o consequente é sempre verdadeiro, então a implicação é sempre verdadeira, independentemente do antecedente).
Passo 5
Mostrando a segunda implicação, mas observando que aqui precisamos usar a hipótese
:
Queremos verificar
Queremos verificar
Raciocínio direto: suponha
verdadeira (esta é a hipótese do antecedente da implicação global). Sob essa suposição,
tem exatamente o mesmo valor de verdade que
porque
é conhecida como verdadeira; isto é, quando
é verdadeira temos
Portanto, sob
verdadeira, a implicação
fica equivalente a
, que é tautologia (sempre verdadeira). Assim, sob a hipótese
a implicação
é verdadeira, ou em sintaxe:
Passo 6
Juntando os dois resultados dos passos anteriores temos
Tomando a conjunção dessas duas implicações (que é a definição de bicondicional), obtemos
e por definição de
isso é exatamente
Passo 7
Interpretação final e verificação por tabela rápida (intuição): quando
é verdadeira,
vale exatamente o mesmo que
(porque
), logo
é verdadeira; quando
é falsa a implicação
é automaticamente verdadeira. Assim, em todas as valorações a fórmula
é verdadeira.