EXERCICIO 09 - SEPIC em CCM com ondulações (avançado)
Um conversor SEPIC opera com os seguintes parâmetros:
  • Tensão de entrada: Vi =9 \mathrm{~V}
  • Ciclo de trabalho: \mathrm{D}=0,4
  • Frequência de chaveamento: \mathrm{f}=100 \mathrm{kHz}
  • Indutores: L1 =\mathrm{L} 2=90 \mu \mathrm{H}
  • Capacitores: C1 = C2 =80 \mu \mathrm{~F}
  • Corrente média de saída: Io =2 \mathrm{~A}
Considere CCM e componentes ideais. Determine:
a) A tensão média de saída Vo (use a relação estática ideal do SEPIC).
b) A variação de corrente de pico a pico no indutor 1, \Delta \mathrm{iL} 1.
c) A variação de corrente de pico a pico no indutor 2, \Delta iL2.
d) A tensão de ondulação pico a pico no capacitor \mathrm{C} 1, \Delta \mathrm{vC} 1, indicando as aproximações usadas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Tensão de entrada: V_i = 9\\ \mathrm{V}.
  • Ciclo de trabalho: D = 0{,}4.
  • Frequência de chaveamento: f = 100\\ \mathrm{kHz}.
  • Indutores: L_1 = L_2 = 90\\ \mu\mathrm{H}.
  • Capacitores: C_1 = C_2 = 80\\ \mu\mathrm{F}.
  • Corrente média de saída: I_o = 2\\ \mathrm{A}.
O enunciado pede:
(a) a tensão média de saída V_o (usar a relação estática ideal do SEPIC);
(b) a variação de corrente pico-a-pico no indutor 1, \Delta i_{L1};
(c) a variação de corrente pico-a-pico no indutor 2, \Delta i_{L2};
(d) a tensão de ondulação pico-a-pico no capacitor C_1, \Delta v_{C1}, indicando as aproximações usadas.

Passo 2

Resolver (a): relação estática ideal do SEPIC e cálculo numérico de V_o.
Explicação didática da relação estática (passo a passo):
  • Em regime permanente e com componentes ideais, aplica-se equilíbrio de volt‑segundos a um indutor: a média da tensão no indutor em um período é zero.
  • Para o SEPIC podemos escrever o volt‑segundo em L_1. Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração D T) o nó do interruptor é aterrado, então a tensão no indutor L_1 é v_{L1,\text{on}} = V_i. Durante o intervalo desligado (duração (1-D)T) a tensão em L_1 é v_{L1,\text{off}} = -V_o (isso decorre da topologia: quando o diodo conduz o nó do capacitor acopla e faz v_{L1} = V_i - V_n = -V_o e, aplicando-se a condição média zero).
  • Volt‑segundo nulo em L_1:
V_i\cdot D + (-V_o)\cdot(1-D)=0.
  • Reorganizando:
V_i D = V_o (1-D) \quad\Rightarrow\quad V_o = V_i\frac{D}{1-D}.
Aplicando os números:
V_o = 9\\ \mathrm{V}\cdot\frac{0{,}4}{1-0{,}4}=9\cdot\frac{0{,}4}{0{,}6}=9\cdot\frac{2}{3}=6\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Resolver (b): variação pico-a-pico de corrente em L_1, \Delta i_{L1}.
Conceito e fórmula usada:
  • Em cada intervalo a corrente do indutor varia linearmente com a inclinação dada por \dfrac{v_L}{L}. A variação absoluta durante o tempo ON (ou durante OFF) é \Delta i = \dfrac{v_{L,\text{segmento}}\cdot t_{\text{segmento}}}{L}.
  • Para calcular o pico‑a‑pico basta usar um dos segmentos (ON ou OFF) porque a soma das mudanças em ON e OFF é zero em regime estacionário, e a magnitude das variações em cada segmento tem relação via a igualdade de volt‑segundos.
Para L_1:
  • v_{L1,\text{on}} = V_i durante o intervalo D\cdot T (onde T=1/f).
  • Assim:
\Delta i_{L1} = \frac{v_{L1,\text{on}}\cdot D T}{L_1} = \frac{V_i\cdot D}{L_1 f}.
Substituindo valores ( V_i=9\\ \mathrm{V}, D=0{,}4, L_1=90\\ \mu\mathrm{H}, f=100\\ \mathrm{kHz}):
Primeiro calcule o denominador:
L_1 f = 90\times10^{-6}\cdot100\times10^{3}=90\times10^{-6}\cdot10^{5}=9.
Então
\Delta i_{L1}=\frac{9\cdot0{,}4}{9}=0{,}4\\ \mathrm{A}.
Comentário: o resultado é a variação pico‑a‑pico (do máximo ao mínimo) do sinal triangular de corrente em L_1.

Passo 4

Resolver (c): variação pico-a-pico de corrente em L_2, \Delta i_{L2}.
Raciocínio e fórmula:
  • Pela análise da topologia, durante o intervalo ON v_{L2,\text{on}}=-V_i (tensão negativa de magnitude V_i) por duração D T, e durante OFF v_{L2,\text{off}}=V_o por duração (1-D)T. Pela igualdade de volt‑segundos a magnitude da mudança durante ON é igual à magnitude durante OFF.
  • Podemos calcular \Delta i_{L2} usando o trecho ON, assim:
\Delta i_{L2}=\frac{|v_{L2,\text{on}}|\cdot D}{L_2 f}=\frac{V_i\cdot D}{L_2 f}.
  • Como L_2=L_1 e os demais parâmetros coincidem, numericamente será igual a \Delta i_{L1}.
Substituindo:
\Delta i_{L2}=\frac{9\cdot0{,}4}{90\times10^{-6}\cdot100\times10^{3}}=0{,}4\\ \mathrm{A}.
Observação: ambos indutores têm a mesma indutância e, portanto, a mesma ondulação pico‑a‑pico.

Passo 5

Preparação para (d): cálculo da ondulação de tensão em C_1 e aproximações usadas.
Vamos entender como C_1 é percorrido por corrente no SEPIC e quais simplificações razoáveis podemos fazer:
  • O capacitor C_1 é o capacitor de acoplamento entre os dois indutores; sua tensão média se mantém fixa em regime permanente (não há corrente DC líquida nele).
  • A corrente instantânea em C_1 é uma função dos correntes dos indutores e do estado (ON/OFF) do chaveamento. Uma forma prática e bastante usada para estimar a ondulação de v_{C1} é calcular a carga transferida para C_1 durante o intervalo ON (ou OFF) e dividir por C_1.
  • Aproximações que vamos adotar (comumente aceitas para estimativas rápidas em provas):
    1. Regime CCM e componentes ideais.
    2. A corrente de saída I_o é aproximadamente constante durante um ciclo (assumir C_\text{out} suficientemente grande) — isso permite tratar a corrente média de L_2 como aproximadamente I_o.
    3. O efeito do pequeno ripple de i_{L2} sobre a integral será pequeno; usar a média de i_{L2} no intervalo quando necessário.
    4. Ignorar perdas do diodo e do interruptor.
Com essas aproximações, podemos estimar a variação de tensão no capacitor por integração da corrente que passa por ele num intervalo (por exemplo, durante o intervalo ON, quando o diodo está bloqueado e C_1 recebe a corrente de L_2).

Passo 6

Resolver (d): cálculo de \Delta v_{C1} com a aproximação descrita.
Raciocínio físico e matemático:
  • Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração D T), o diodo está bloqueado e o nodo do capacitor do lado do indutor L_2 fica isolado para o caminho ao output. Nessa condição o capacitor C_1 recebe a corrente de L_2; a carga adicional acumulada em C_1 durante ON é aproximadamente a integral da corrente de L_2 sobre D T.
  • Usando a aproximação de que a corrente média de L_2 é I_o e que a componente alternada tem média zero, a carga transferida para C_1 durante ON pode ser aproximada por:
\Delta Q \approx I_o\cdot D T = I_o\frac{D}{f}.
  • A variação de tensão correspondente é \Delta v_{C1} = \dfrac{\Delta Q}{C_1}. Assim:
\Delta v_{C1}\approx \frac{I_o D}{C_1 f}.
Substituindo valores ( I_o=2\\ \mathrm{A}, D=0{,}4, C_1=80\\ \mu\mathrm{F}, f=100\\ \mathrm{kHz}):
Calcule o denominador: C_1 f = 80\times10^{-6}\cdot100\times10^{3}=8.
Então
\Delta v_{C1}\approx\frac{2\cdot0{,}4}{8}= \frac{0{,}8}{8}=0{,}1\\ \mathrm{V}.
Portanto, com as aproximações listadas, a ondulação pico‑a‑pico em C_1 é aproximadamente 0{,}1\\ \mathrm{V} (100 mV).
Resumo das aproximações usadas para este resultado:
  • Corrente de saída praticamente constante durante o período (grande C_\mathrm{out});
  • Usar a média de i_{L2} durante ON, isto é \approx I_o, para estimar a carga acumulada em C_1;
  • Componentes ideais, CCM, desprezar efeitos parásitos.

Resposta

(a) V_o = 6\\ \mathrm{V}
(b) \Delta i_{L1} = 0{,}4\\ \mathrm{A} (pico‑a‑pico)
(c) \Delta i_{L2} = 0{,}4\\ \mathrm{A} (pico‑a‑pico)
(d) \Delta v_{C1} \approx 0{,}1\\ \mathrm{V} (pico‑a‑pico; aproximação: \Delta v_{C1}\approx \dfrac{I_o D}{C_1 f}, ver justificativas acima)

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