EXERCICIO 09 - SEPIC em CCM com ondulações (avançado)
Um conversor SEPIC opera com os seguintes parâmetros:
- Tensão de entrada: Vi
- Ciclo de trabalho:
- Frequência de chaveamento:
- Indutores: L1
- Capacitores: C1
C2
- Corrente média de saída: Io
Considere CCM e componentes ideais. Determine:
a) A tensão média de saída Vo (use a relação estática ideal do SEPIC).
b) A variação de corrente de pico a pico no indutor
.
c) A variação de corrente de pico a pico no indutor
iL2.
d) A tensão de ondulação pico a pico no capacitor
, indicando as aproximações usadas.
Um conversor SEPIC opera com os seguintes parâmetros:
a) A tensão média de saída Vo (use a relação estática ideal do SEPIC).
b) A variação de corrente de pico a pico no indutor
c) A variação de corrente de pico a pico no indutor
d) A tensão de ondulação pico a pico no capacitor
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Tensão de entrada:
. - Ciclo de trabalho:
. - Frequência de chaveamento:
. - Indutores:
. - Capacitores:
. - Corrente média de saída:
.
O enunciado pede:
(a) a tensão média de saída (usar a relação estática ideal do SEPIC);
(b) a variação de corrente pico-a-pico no indutor 1, ;
(c) a variação de corrente pico-a-pico no indutor 2, ;
(d) a tensão de ondulação pico-a-pico no capacitor ,
, indicando as aproximações usadas.
(a) a tensão média de saída
(b) a variação de corrente pico-a-pico no indutor 1,
(c) a variação de corrente pico-a-pico no indutor 2,
(d) a tensão de ondulação pico-a-pico no capacitor
Passo 2
Resolver (a): relação estática ideal do SEPIC e cálculo numérico de
.
Explicação didática da relação estática (passo a passo):
- Em regime permanente e com componentes ideais, aplica-se equilíbrio de volt‑segundos a um indutor: a média da tensão no indutor em um período é zero.
- Para o SEPIC podemos escrever o volt‑segundo em
. Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração ) o nó do interruptor é aterrado, então a tensão no indutor é . Durante o intervalo desligado (duração ) a tensão em é (isso decorre da topologia: quando o diodo conduz o nó do capacitor acopla e faz e, aplicando-se a condição média zero). - Volt‑segundo nulo em
:
- Reorganizando:
Aplicando os números:
Passo 3
Resolver (b): variação pico-a-pico de corrente em
,
.
Conceito e fórmula usada:
- Em cada intervalo a corrente do indutor varia linearmente com a inclinação dada por
. A variação absoluta durante o tempo ON (ou durante OFF) é . - Para calcular o pico‑a‑pico basta usar um dos segmentos (ON ou OFF) porque a soma das mudanças em ON e OFF é zero em regime estacionário, e a magnitude das variações em cada segmento tem relação via a igualdade de volt‑segundos.
Para
:
-
durante o intervalo (onde ). - Assim:
Substituindo valores (
,
,
,
):
Primeiro calcule o denominador:
Primeiro calcule o denominador:
Então
Comentário: o resultado é a variação pico‑a‑pico (do máximo ao mínimo) do sinal triangular de corrente em
.
Passo 4
Resolver (c): variação pico-a-pico de corrente em
,
.
Raciocínio e fórmula:
- Pela análise da topologia, durante o intervalo ON
(tensão negativa de magnitude ) por duração , e durante OFF por duração . Pela igualdade de volt‑segundos a magnitude da mudança durante ON é igual à magnitude durante OFF. - Podemos calcular
usando o trecho ON, assim:
- Como
e os demais parâmetros coincidem, numericamente será igual a .
Substituindo:
Observação: ambos indutores têm a mesma indutância e, portanto, a mesma ondulação pico‑a‑pico.
Passo 5
Preparação para (d): cálculo da ondulação de tensão em
e aproximações usadas.
Vamos entender como
é percorrido por corrente no SEPIC e quais simplificações razoáveis podemos fazer:
- O capacitor
é o capacitor de acoplamento entre os dois indutores; sua tensão média se mantém fixa em regime permanente (não há corrente DC líquida nele). - A corrente instantânea em
é uma função dos correntes dos indutores e do estado (ON/OFF) do chaveamento. Uma forma prática e bastante usada para estimar a ondulação de é calcular a carga transferida para durante o intervalo ON (ou OFF) e dividir por . - Aproximações que vamos adotar (comumente aceitas para estimativas rápidas em provas):
- Regime CCM e componentes ideais.
- A corrente de saída
é aproximadamente constante durante um ciclo (assumir suficientemente grande) — isso permite tratar a corrente média de como aproximadamente . - O efeito do pequeno ripple de
sobre a integral será pequeno; usar a média de no intervalo quando necessário. - Ignorar perdas do diodo e do interruptor.
Com essas aproximações, podemos estimar a variação de tensão no capacitor por integração da corrente que passa por ele num intervalo (por exemplo, durante o intervalo ON, quando o diodo está bloqueado e
recebe a corrente de
).
Passo 6
Resolver (d): cálculo de
com a aproximação descrita.
Raciocínio físico e matemático:
- Durante o intervalo em que o interruptor está ligado (duração
), o diodo está bloqueado e o nodo do capacitor do lado do indutor fica isolado para o caminho ao output. Nessa condição o capacitor recebe a corrente de ; a carga adicional acumulada em durante ON é aproximadamente a integral da corrente de sobre . - Usando a aproximação de que a corrente média de
é e que a componente alternada tem média zero, a carga transferida para durante ON pode ser aproximada por:
- A variação de tensão correspondente é
. Assim:
Substituindo valores (
,
,
,
):
Calcule o denominador:
Então
Calcule o denominador:
Então
Portanto, com as aproximações listadas, a ondulação pico‑a‑pico em
é aproximadamente
(100 mV).
Resumo das aproximações usadas para este resultado:
- Corrente de saída praticamente constante durante o período (grande
); - Usar a média de
durante ON, isto é , para estimar a carga acumulada em ; - Componentes ideais, CCM, desprezar efeitos parásitos.
Resposta
(a)
(b) (pico‑a‑pico)
(c) (pico‑a‑pico)
(d) (pico‑a‑pico; aproximação:
, ver justificativas acima)
(b)
(c)
(d)