1- Um sistema com massa de 1 [ kg] e uma rigidez de 1000[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], terá uma frequência angular de?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Massa: m=1\\ \mathrm{kg}.
  • Rigidez (constante elástica da mola): k=1000\\ \mathrm{N/m}.
    Pergunta: qual é a frequência angular \omega do sistema massa-mola?

Passo 2

O que é a frequência angular e de onde vem a fórmula?
  • Um sistema massa-mola ideal, sem amortecimento, obedece à equação do movimento
m\ddot{x}+kx=0,
onde \ddot{x} é a segunda derivada do deslocamento x(t) em relação ao tempo (ou seja, a aceleração).
  • Procuramos soluções harmônicas do tipo x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Substituindo essa forma na equação de movimento:
m(-\omega^2)A\cos(\omega t+\varphi)+kA\cos(\omega t+\varphi)=0.
Cancelando o fator comum A\cos(\omega t+\varphi) (não nulo para uma oscilação não-trivial) obtemos
-m\omega^2+k=0.
  • Isolando \omega vem a relação fundamental para a frequência angular do oscilador massa-mola:
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Explicação das variáveis: \omega é a frequência angular em rad/s; k é a rigidez em N/m; m é a massa em kg.

Passo 3

Agora vamos aplicar a fórmula com os números dados:
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{1000}{1}}=\sqrt{1000}.
Uma forma útil de simplificar \sqrt{1000} é escrever 1000=10^3, então
\sqrt{1000}=10^{3/2}=10\sqrt{10}.
Sabendo que \sqrt{10}\approx3,16227766, obtemos
\omega\approx10\cdot3,16227766\approx31,6227766\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando para duas casas decimais:
\omega\approx31,62\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Verificação de unidades (para ganhar confiança):
  • k tem unidade \mathrm{N/m}=\dfrac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2\cdot\mathrm{m}}=\dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2}.
  • \dfrac{k}{m} tem unidade \dfrac{\mathrm{kg}/\mathrm{s}^2}{\mathrm{kg}}=\dfrac{1}{\mathrm{s}^2}.
  • Tomando a raiz quadrada, \omega tem unidade \mathrm{s}^{-1}, que corresponde a rad/s, como esperado.

Passo 5

Dica prática para a prova: memorize a fórmula \omega=\sqrt{k/m}. Se te derem k e m, você já sabe que é só dividir e tirar raiz quadrada. Se preferir a frequência em hertz f, use f=\dfrac{\omega}{2\pi} (aqui daria aproximadamente f\approx5,03\\ \mathrm{Hz}). Força aí — isso é bem direto quando decorado e praticado!

Resposta

\omega=\sqrt{1000}\\ \mathrm{rad/s}\approx31,62\\ \mathrm{rad/s}

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