Dado um C-espaço vetorial V, denote por VR o conjunto V visto como um R-espaço vetorial.
(c) Com base no resultado do item anterior, forneça uma base para C^n visto como um R-espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede, para V=C^n visto como espaço vetorial sobre R, encontrar uma base real. Do item anterior sabemos que, se v1,dots,vn é base de V sobre C, então
v1,dots,vn,,i v1,dots,i vn
é base de V sobre R.

Passo 2

Na prática, a base canônica de C^n sobre C é
e1=(1,0,dots,0),;e2=(0,1,0,dots,0),;dots,;en=(0,dots,0,1)
Aplicando o resultado anterior, obtemos como base real o conjunto
,e1,dots,en,;i e1,dots,i en

Passo 3

Escrevendo explicitamente em coordenadas, a base de C^n sobre R é
(1,0,dots,0),,(0,1,0,dots,0),;dots,;(0,dots,0,1),
(i,0,dots,0),;(0,i,0,dots,0),;dots,;(0,dots,0,i)

Resposta

Como base de C^n visto como espaço real, podemos tomar
,e1,dots,en,;i e1,dots,i en
onde ej é o vetor com 1 na j-ésima coordenada e 0 nas demais.

Exercícios relacionados