Exercício 3.10.16. Escrever um sistema linear de três equações em duas incógnitas que admite
como única solução. E’ verdade que uma das equações è combinação linear das outras duas? E’ verdade que todas as equações são proporcionais?
Passo 1
O enunciado pede um sistema de três equações lineares em duas incógnitas que tenha como única solução o par
. Depois queremos saber se uma dessas equações é combinação linear das outras duas e se todas elas são proporcionais entre si.
Passo 2
Para garantir que o sistema tenha solucão única em
, basta escolher duas retas não paralelas que se cruzem em
. Por exemplo, pegamos:
Cada uma delas passa por
porque
e
. Como os vetores de coeficientes
e
não são proporcionais, as retas não são paralelas e têm interseção única em
.
Passo 3
Agora escolhemos uma terceira reta que também passe por
. A forma geral é
e impomos
. Um exemplo simples é
pois
.
Passo 4
Verificação rápida de que
satisfaz todas as três equações:
Logo é de fato solução comum e única, pois não há duas retas paralelas nem redundância que aumente as soluções.
Passo 5
Para ver que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras, buscamos
Isso dá o sistema
cuja solução é . E o lado direito
coincide com o termo independente. Portanto
isto é, a terceira é combinação linear das duas primeiras.
Passo 6
Duas equações são proporcionais se todos os coeficientes (incluindo termo independente) de uma forem múltiplos por um mesmo escalar dos coeficientes da outra. Aqui, por exemplo,
não é múltiplo escalar de
, então nem todas as equações são proporcionais entre si.
Resposta
O sistema escolhido foi
Sim, a terceira equação é combinação linear das duas primeiras.
Não, as três equações não são todas proporcionais entre si.
Não, as três equações não são todas proporcionais entre si.