Exercício 3.10.16. Escrever um sistema linear de três equações em duas incógnitas que admite (1,2) como única solução. E’ verdade que uma das equações è combinação linear das outras duas? E’ verdade que todas as equações são proporcionais?

Passo 1

O enunciado pede um sistema de três equações lineares em duas incógnitas que tenha como única solução o par (1,2). Depois queremos saber se uma dessas equações é combinação linear das outras duas e se todas elas são proporcionais entre si.

Passo 2

Para garantir que o sistema tenha solucão única em R^2, basta escolher duas retas não paralelas que se cruzem em (1,2). Por exemplo, pegamos:
x + y = 3
2x - y = 0
Cada uma delas passa por (1,2) porque 1 + 2 = 3 e 2cdot1 - 2 = 0. Como os vetores de coeficientes (1,1) e (2,-1) não são proporcionais, as retas não são paralelas e têm interseção única em (1,2).

Passo 3

Agora escolhemos uma terceira reta que também passe por (1,2). A forma geral é
ax + by = c
e impomos acdot1 + bcdot2 = c. Um exemplo simples é
3x + 4y = 11
pois 3cdot1 + 4cdot2 = 11.

Passo 4

Verificação rápida de que (1,2) satisfaz todas as três equações:
1 + 2 = 3, 2cdot1 - 2 = 0, 3cdot1 + 4cdot2 = 11
Logo é de fato solução comum e única, pois não há duas retas paralelas nem redundância que aumente as soluções.

Passo 5

Para ver que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras, buscamos
Isso dá o sistema
cuja solução é . E o lado direito
coincide com o termo independente. Portanto
isto é, a terceira é combinação linear das duas primeiras.

Passo 6

Duas equações são proporcionais se todos os coeficientes (incluindo termo independente) de uma forem múltiplos por um mesmo escalar dos coeficientes da outra. Aqui, por exemplo, (1,1,3) não é múltiplo escalar de (2,-1,0), então nem todas as equações são proporcionais entre si.

Resposta

O sistema escolhido foi
x + y = 3, 2x - y = 0, 3x + 4y = 11
Sim, a terceira equação é combinação linear das duas primeiras.
Não, as três equações não são todas proporcionais entre si.

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