3.10.2 Sistemas lineares

Exercício 3.10.15. Verificar se (2,1,1) è solução do sistema
l x-y+z=2 x+2 y-z=3
e encontrar todas as outras soluções do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se (2,1,1) é solução do sistema linear de duas equações e três incógnitas
x - y + z = 2, x + 2y - z = 3,
além de determinar todas as soluções do sistema. Vamos usar substituição para verificação e, em seguida, eliminação com parâmetro livre para a solução geral.

Passo 2

Verificamos (2,1,1) substituindo x=2, y=1, z=1 nas equações:
2 - 1 + 1 = 2,
2 + 2cdot1 - 1 = 3
Como ambas as igualdades se confirmam, (2,1,1) é de fato solução.

Passo 3

Para achar a solução geral, isolamos x na primeira equação:
x = 2 + y - z
Substituindo isso em x + 2y - z = 3 obtemos
(2 + y - z) + 2y - z = 3 Longrightarrow 2 + 3y - 2z = 3 Longrightarrow 3y - 2z = 1
Como temos três incógnitas e só duas equações, tomamos z = t como parâmetro livre. Assim,
y = 1 + 2t3

Passo 4

Agora substituímos y e z em x = 2 + y - z:
x = 2 + 1 + 2t3 - t = 2 + 13 + 2t3 - t = 73 - t3 = 7 - t3
Logo, o conjunto de todas as soluções é
l(x,y,zr) = l(7 - t3,,1 + 2t3,,tr), t in R
Repare que, ao escolher t=1, recuperamos a solução (2,1,1).

Resposta

Todas as soluções do sistema são
l(x,y,zr) = l(7 - t3,,1 + 2t3,,tr), t in R

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