Exercício 3.10.17. Estabelecer quais dos seguintes sistemas são compatíveis, determinados ou indeterminados, e calcular as soluções quando existem:
\left{ l 2 x + 3 y - 4 z = 1 x + 3 y + z = - 1 x + y - 3 z = 1 \right.

Passo 1

A questão apresenta o sistema
2x + 3y - 4z = 1, x + 3y + z = -1, x + y - 3z = 1
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares via eliminação de Gauss, e vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações de linha para escalonar.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada
[ccc|c 2 & 3 & -4 & 1 1 & 3 & 1 & -1 1 & 1 & -3 & 1 ]
Para simplificar, trocamos R1 e R2 (colocando 1 no pivô da primeira linha) e eliminamos os demais elementos da coluna 1:
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - R1,
ficando
[ccc|c 1 & 3 & 1 & -1 0 & -3 & -6 & 3 0 & -2 & -4 & 2 ]

Passo 3

Dividimos R2 por -3 para normalizar o pivô e eliminamos o elemento abaixo na coluna 2:
R2 -tfrac13R2, R3 R3 + 2R2,
obtendo
[ccc|c 1 & 3 & 1 & -1 0 & 1 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

A linha 3 virou 0=0, indicando variável livre. Chamamos z = t. Da linha 2 vem
y + 2z = -1Longrightarrow y = -1 - 2t
Da linha 1:
x + 3y + z = -1Longrightarrow x = -1 - 3(-1 - 2t) - t = 2 + 5t

Resposta

O sistema é compatível indeterminado e a solução geral é
(x,y,z) = (2 + 5t,,-1 - 2t,,t), tinR

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