Exercício 3.10.17. Estabelecer quais dos seguintes sistemas são compatíveis, determinados ou indeterminados, e calcular as soluções quando existem:
{ l x - 3 y + z = 0 3 x + y + z = - 1

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear com duas equações e três incógnitas (x,y,z). O conteúdo é a classificação de sistemas lineares (compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível) usando posto das matrizes, e sua resolução por eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos o sistema
x - 3y + z = 0, 3x + y + z = -1
Para eliminar z, subtraímos a primeira equação da segunda:
(3x + y + z) - (x - 3y + z) = -1 - 0
que simplifica para
2x + 4y = -1

Passo 3

Da equação 2x + 4y = -1 isolamos x:
x = -2y - 12
Substituindo em x - 3y + z = 0,
(-2y - tfrac12) - 3y + z = 0
resulta em
z = 5y + 12

Passo 4

Como sobra uma variável livre, definimos y = t. Assim a solução geral é
(x,y,z) = l(-tfrac12 - 2t,;t,;tfrac12 +5tr), tinR
O posto da matriz de coeficientes é 2, menor que o número de incógnitas ( 3), mas igual ao posto da matriz ampliada, logo o sistema é compatível indeterminado com infinitas soluções.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado.
A solução geral é
(x,y,z) = l(-tfrac12 - 2t,;t,;tfrac12 +5tr), tinR

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