Prove que se
é uma base de um
espaço vetorial
, então
, para
, é também uma base de
.
10. Seja
uma base do
-espaço vetorial
. Prove que se
é uma matriz invertível, então
é também uma base de
.
10. Seja
Passo 1
O enunciado tem duas partes, ambas sobre transformação de bases em espaços vetoriais. Primeiro, em um espaço vetorial
de dimensão
, temos uma base
e queremos mostrar que, se
, então
é também uma base de
.
Na segunda parte, em com base
, queremos provar que, para toda matriz invertível
, o conjunto
Na segunda parte, em
é base de
.
Conteúdo envolvido: definição de base (gerador linearmente independente), propriedades de escalares não nulos e de transformações lineares invertíveis.
Conteúdo envolvido: definição de base (gerador
Passo 2
Provar que
gera
.
Como gera
, dado qualquer
existe combinação
Como
Como
para todo
, podemos escrever
logo
que mostra que
está no span de
. Assim esse conjunto é gerador.
Passo 3
Provar que
é linearmente independente.
Suponha
Suponha
Agrupando, isto é
Como
é linearmente independente e
, segue que
implica
para todo
. Portanto os vetores
são linearmente independentes.
Passo 4
Provar que
é base de
quando
é invertível.
Defina a transformação linear por
. Como
é inversível,
é bijetora.
. (Geração) Para qualquer
, existe
. Como
gera,
. Então
Defina a transformação linear
logo
está no span de
.
. (Independência) Se
, então
Como
é invertível, o único núcleo é o vetor zero, logo
. Pela independência de
segue
para todo
. Assim
é linearmente independente.
Resposta
Em ambos os casos o conjunto transformado continua sendo gerador e linearmente independente, portanto é base.
(a) é base de
.
(b) é base de
.
(a)
(b)