Prove que se v1, v2, ldots, vn é uma base de um K espaço vetorial V, então alpha1 v1, alpha2 v2, ldots, alphan vn, para alpha1, alpha2, ldots, alphan neq 0, é também uma base de V.
10. Seja v1, v2, ldots, vn uma base do K-espaço vetorial K^n. Prove que se A in Mn(K) é uma matriz invertível, então A v1, A v2, ldots, A vn é também uma base de K^n.

Passo 1

O enunciado tem duas partes, ambas sobre transformação de bases em espaços vetoriais. Primeiro, em um espaço vetorial V de dimensão n, temos uma base v1,dots,vn e queremos mostrar que, se alpha1,dots,alphanin Ksetminus0, então
alpha1v1,,alpha2v2,dots,alphanvn
é também uma base de V.
Na segunda parte, em K^n com base v1,dots,vn, queremos provar que, para toda matriz invertível Ain Mn(K), o conjunto
A v1,,A v2,dots,A vn
é base de K^n.
Conteúdo envolvido: definição de base (gerador + linearmente independente), propriedades de escalares não nulos e de transformações lineares invertíveis.

Passo 2

Provar que alpha1v1,dots,alphanvn gera V.
Como v1,dots,vn gera V, dado qualquer win V existe combinação
w = sumi=1^n betai,vi
Como alphaineq0 para todo i, podemos escrever
vi = alphai^-1,(alphaivi),
logo
w = sumi=1^n betai,l(alphai^-1(alphaivi)r) = sumi=1^n (betai,alphai^-1),(alphaivi),
que mostra que w está no span de alphaivi. Assim esse conjunto é gerador.

Passo 3

Provar que alpha1v1,dots,alphanvn é linearmente independente.
Suponha
sumi=1^n gammai,(alphaivi) = 0
Agrupando, isto é
sumi=1^n (gammai,alphai),vi = 0
Como vi é linearmente independente e alphaineq0, segue que gammai,alphai=0 implica gammai=0 para todo i. Portanto os vetores alphaivi são linearmente independentes.

Passo 4

Provar que A v1,dots,A vn é base de K^n quando A é invertível.
Defina a transformação linear T:K^nto K^n por T(x)=A,x. Como A é inversível, T é bijetora.
1. (Geração) Para qualquer win K^n, existe u=T^-1(w)=A^-1w. Como vi gera, u=sum de<aivi. Então
w = T(u)=T!l(sum de<aivir) = sum de<ai,T(vi) = sum de<ai,(A vi),
logo w está no span de A vi.
2. (Independência) Se sum etai(A vi)=0, então
Al(sum etaivir)=0
Como A é invertível, o único núcleo é o vetor zero, logo sum etaivi=0. Pela independência de vi segue etai=0 para todo i. Assim A vi é linearmente independente.

Resposta

Em ambos os casos o conjunto transformado continua sendo gerador e linearmente independente, portanto é base.
(a) alpha1v1,dots,alphanvn é base de V.
(b) A v1,dots,A vn é base de K^n.

Exercícios relacionados