Exercício 3.10.19. Discutir e resolver os seguintes sistemas, i.e., ao variar dos parâmetros reais h, k estabelecer quando cada um dos seguintes sistemas é compatível, determinado ou indeterminado, e calcular as soluções quando existem:
l2 x+y-1=0 k x+y+h=0

Passo 1

Temos o sistema linear em
O conteúdo aqui é discutir compatibilidade de sistemas lineares em função de , usando o determinante da matriz dos coeficientes e, se possível, o método de eliminação para encontrar as soluções.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma padrão
2x + y = 1, k x + y = -h,
e calculamos o determinante
De<a = 2 & 1 k & 1 = 2cdot1 - kcdot1 = 2 - k
Se De<a neq 0, ou seja k neq 2, o sistema é compatível determinado (uma única solução).

Passo 3

Para k neq 2, fazemos eliminação: subtraindo a primeira equação da segunda,
(k - 2)x = -h - 1
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x = -h - 1k - 2
Substituindo em 2x + y = 1, obtemos
y = 1 - 2x = 1 - 2cdot-h - 1k - 2 = (k - 2) + 2(h + 1)k - 2 = k + 2hk - 2

Passo 4

Se
Há consistência só quando os termos constantes coincidem, ou seja .

Passo 5

Conclusões:
  • Se k neq 2, o sistema é compatível determinado com única solução x = -h - 1k - 2, y = k + 2hk - 2
  • Se k = 2 e h = -1, o sistema é compatível indeterminado, as duas equações coincidem em 2x + y = 1 e as soluções são todas as (x,y) tais que y = 1 - 2x.
  • Se k = 2 e h neq -1, o sistema é incompatível (nenhuma solução).

Resposta

Para o sistema
2x + y - 1 = 0, k x + y + h = 0,
obtém-se:
Para k neq 2: compatível determinado, com
x = -h - 1k - 2, y = k + 2hk - 2
Para k = 2 e h = -1: compatível indeterminado, soluções (x,y)mid y = 1 - 2x.
Para k = 2 e h neq -1: incompatível.

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