Exercício 3.10.19. Discutir e resolver os seguintes sistemas, i.e., ao variar dos parâmetros reais estabelecer quando cada um dos seguintes sistemas é compatível, determinado ou indeterminado, e calcular as soluções quando existem:
Passo 1
Temos o sistema linear em
O conteúdo aqui é discutir compatibilidade de sistemas lineares em função de , usando o determinante da matriz dos coeficientes e, se possível, o método de eliminação para encontrar as soluções.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma padrão
e calculamos o determinante
Se De<a neq 0, ou seja k neq 2, o sistema é compatível determinado (uma única solução).
Passo 3
Para k neq 2, fazemos eliminação: subtraindo a primeira equação da segunda,
Há consistência só quando os termos constantes coincidem, ou seja .
Passo 5
Conclusões:
Se k neq 2, o sistema é compatível determinado com única solução x = -h - 1k - 2, y = k + 2hk - 2
Se k = 2 e h = -1, o sistema é compatível indeterminado, as duas equações coincidem em 2x + y = 1 e as soluções são todas as (x,y) tais que y = 1 - 2x.
Se k = 2 e h neq -1, o sistema é incompatível (nenhuma solução).
Resposta
Para o sistema
2x + y - 1 = 0, k x + y + h = 0,
obtém-se:
Para k neq 2: compatível determinado, com
x = -h - 1k - 2, y = k + 2hk - 2
Para k = 2 e h = -1: compatível indeterminado, soluções (x,y)mid y = 1 - 2x.