Exercício 3.10.19. Discutir e resolver os seguintes sistemas, i.e., ao variar dos parâmetros reais h, k estabelecer quando cada um dos seguintes sistemas é compatível, determinado ou indeterminado, e calcular as soluções quando existem:
lx+2 h y-z=1 h x+(1-h) y+z=2 k

Passo 1

O enunciado pede para discutir o sistema
x + 2h,y - z = 1, h,x + (1 - h),y + z = 2k
variando os parâmetros reais h,k.
Conteúdo: sistemas lineares com parâmetros, uso de eliminação para analisar compatibilidade e obter soluções.

Passo 2

Da primeira equação isolamos z:
z = x + 2h,y - 1

Passo 3

Substituímos esse z na segunda equação:
h,x + (1 - h),y + l(x + 2h,y - 1r) = 2k
que se organiza em
(1 + h),x + l(1 - h + 2hr),y - 1 = 2k Longrightarrow (1 + h)(x + y) = 2k + 1

Passo 4

Caso h neq -1, temos (1+h)neq0 e
x + y = 2k + 11 + h
Logo o sistema é compatível indeterminado ( 2 equações em 3 incógnitas sempre geram infinitas soluções). Por exemplo, escolhendo parâmetro livre y=t,
x = 2k + 11 + h - t, z = x + 2h,t - 1

Passo 5

Caso h = -1, a relação vira
0cdot(x+y) = 2k + 1,
isto é, 0 = 2k + 1.
  • Se 2k + 1 neq 0 (ou seja, k neq -tfrac12), a equação é impossível e o sistema é incompatível.
  • Se k = -tfrac12, torna-se 0=0 e sobra apenas a primeira equação com h=-1: x - 2y - z = 1, que novamente tem infinitas soluções. Logo nesse subcaso o sistema é compatível indeterminado.

Resposta

Para todo
Para , o sistema é incompatível;
- se , o sistema é compatível indeterminado, com solução paramétrica por exemplo
]

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