Exercício 3.10.20. Discutir ao variar do parâmetro real os sistemas , definidos pelas matrizes seguintes:
Passo 1
O enunciado dá o sistema homogêneo , onde
e pede discutir as soluções ao variar o parâmetro real . Para isso vamos estudar o posto de em função de e usar que, sendo o sistema homogêneo, sempre é consistente e a dimensão do espaço de soluções é
Passo 2
Calculemos o determinante do menor 3times3 obtido pelas colunas 1,2 e 3:
M123 = det k & -k & 0 1 & -2 & -1 0 & 1 & k
Expandindo pela primeira linha,
M123 = kdet-2 & -11 & k -(-k)det1 & -10 & k = k(-2k -(-1)) + k,(1cdot k -(-1)cdot0) = -2k^2 + k + k^2 = k(1 - k)
Passo 3
Calculemos agora o menor pelas colunas 1,2 e 4:
Note que se então , de modo que . Se ambos e se anulam, e todos os menores são zero, logo .
Passo 4
Para temos
Basta exibir um menor não nulo, por exemplo das colunas 1 e 2 nas duas primeiras linhas:
logo quando .
Passo 5
Como o sistema é homogêneo, ele é sempre consistente. A dimensão do espaço de soluções é
Se , então e . Há infinitas soluções que dependem de um parâmetro livre.
Se , então e . Há infinitas soluções que dependem de dois parâmetros livres.
Resposta
Para : , (infinitas soluções com um parâmetro).
Para : , (infinitas soluções com dois parâmetros).