Exercício 3.10.20. Discutir ao variar do parâmetro real k os sistemas A X=B, definidos pelas matrizes seguintes:
A=(lll1 & k & 1 1 & k & 1 k & 1 & 1) B=(c2 h-1 0 1).

Passo 1

O enunciado dá o sistema
A X = B
onde
A = 1 & k & 1 1 & k & 1 k & 1 & 1 , B = 2h - 1[6pt]0[3pt]1
O objetivo é discutir, à medida que o parâmetro real k varia, se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos precisar calcular o determinante de A e estudar o posto (rank) de A e do sistema aumentado (A|B).]

Passo 2

Calcular o determinante de A. Note que as duas primeiras linhas de A são idênticas:
linha1 = (1,;k,;1) e linha2 = (1,;k,;1)
Sempre que duas linhas são iguais, det(A)=0. Logo
det(A)=0 para todo k
Isto mostra que A é sempre singular e jamais haverá solução única.

Passo 3

Como det(A)=0, há que distinguir os casos de posto de A.
  • Se kneq1, então as linhas 1 e 2 coincidem mas a linha 3 não é múltiplo da linha 1. Assim
rank(A)=2
  • Se k=1, então linha 1= linha 2= linha 3= (1,1,1), e
rank(A)=1

Passo 4

Para haver soluções é necessário que o posto de (A|B) não exceda o de A. A única dependência linear automática entre linha 1 e linha 2 força
B1 = B2,
isto é
2h - 1 = 0 Longrightarrow h = tfrac12
Adicionalmente, se k=1 todas as três linhas de A coincidem, então devemos ter também B3 = B1, ou seja
1 = 2h-1 Longrightarrow h = 1
Mas não existem h que simultaneamente satisfaçam h=tfrac12 e h=1. Portanto para k=1 o sistema sempre é inconsistente (nenhuma solução).

Passo 5

Concluímos:
  • Para k=1: rank(A)=1 mas (A|B) tem posto 2 independentemente de h, logo nenhuma solução.
  • Para kneq1: rank(A)=2. O sistema é consistente se e somente se h=tfrac12, pois só assim B1=B2. Nesse caso rank(A)=rank(A|B)=2<3, ficando infinitas soluções (grau de liberdade 3-2=1). Se hneqtfrac12, então B1neq B2 e o sistema é inconsistente.

Resposta

Para todo k tem-se:
  • Se k=1: sem solução (inconsistente) para qualquer h.
  • Se kneq1:
    • h=tfrac12: infinitas soluções.
    • hneqtfrac12: sem solução.

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