Exercício 3.10.21. Discutir ao variar dos parâmetros reais e os sistemas , definidos pelas matrizes seguintes:
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema com
Precisamos discutir, em termos de e , quando o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso, vamos calcular e, no caso singular, analisar a consistência do sistema ampliado.
Passo 2
Calculemos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det A = 1cdotdet2 & h h & 2 - hcdotdet1 & h1 & 2 + 0cdot(cdots)
Se h neq 2, então det A = 2(2 - h)neq 0 e a matriz A é invertível. Logo, para qualquer valor de k, o sistema tem solução única.
Passo 4
Se , então e
Note que a segunda e a terceira linhas coincidem, mas a primeira é diferente, então .
Passo 5
Para o sistema ampliado é
Subtraindo a segunda linha da terceira, obtemos
Isso implica:
– Se , surge a equação , inconsistente, logo sem solução.
– Se , a terceira linha fica redundante e , gerando infinitas soluções (um parâmetro livre).
Resposta
Para o sistema AX=B dado:
– Se h neq 2, existe solução única (para todo k).
– Se h = 2 e k neq 0, nenhuma solução.
– Se h = 2 e k = 0, existem infinitas soluções.