Exercício 3.10.21. Discutir ao variar dos parâmetros reais h e k os sistemas A X=B, definidos pelas matrizes seguintes:
A=(ccc1 & h & 0 1 & 2 & h 1 & h & 2) B=(l2 k 0)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema com
Precisamos discutir, em termos de e , quando o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso, vamos calcular e, no caso singular, analisar a consistência do sistema ampliado.

Passo 2

Calculemos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det A = 1cdotdet2 & h h & 2 - hcdotdet1 & h1 & 2 + 0cdot(cdots)
Temos
det2 & h h & 2 = 4 - h^2, det1 & h1 & 2 = 2 - h
Logo
det A = (4 - h^2) - h,(2 - h) = 4 - h^2 - 2h + h^2 = 4 - 2h = 2(2 - h)

Passo 3

Se h neq 2, então det A = 2(2 - h)neq 0 e a matriz A é invertível. Logo, para qualquer valor de k, o sistema tem solução única.

Passo 4

Se , então e
Note que a segunda e a terceira linhas coincidem, mas a primeira é diferente, então .

Passo 5

Para o sistema ampliado é
Subtraindo a segunda linha da terceira, obtemos
Isso implica:
– Se , surge a equação , inconsistente, logo sem solução.
– Se , a terceira linha fica redundante e , gerando infinitas soluções (um parâmetro livre).

Resposta

Para o sistema AX=B dado:
– Se h neq 2, existe solução única (para todo k).
– Se h = 2 e k neq 0, nenhuma solução.
– Se h = 2 e k = 0, existem infinitas soluções.

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