Exercício 3.10.21. Discutir ao variar dos parâmetros reais h e k os sistemas A X=B, definidos pelas matrizes seguintes:
A=(ccc1 & 0 & h 1 & 0 & h^2 1 & -3 & 2) B=(l0 k 1).

Passo 1

O enunciado pede para discutir, variando os parâmetros reais e , o sistema
onde
O conteúdo aqui é a teoria de sistemas lineares: vamos calcular para saber quando é invertível (solução única) e, se é singular, comparar os postos de e para ver existência e quantidade de soluções.

Passo 2

Calculemos det A expandindo pela primeira linha:
det A = 1cdotdet0 & h^2-3 & 2 -0cdotcdots + hcdotdet1 & 01 & -3
Logo,
det A = 1l(0cdot2 - h^2(-3)r) + hl(1cdot(-3)-0cdot1r) = 3h^2 - 3h = 3h(h-1)

Passo 3

Se hneq0 e hneq1, então det A=3h(h-1)neq0 e A é invertível. Nesse caso o sistema tem exatamente uma solução para todo valor de k.

Passo 4

Se det A=0, ou seja h=0 ou h=1, a matriz A é singular e o sistema pode ser possível indeterminado ou impossível. Precisamos comparar o posto de A com o posto da matriz aumentada [Amid B].

Passo 5

Para temos
As duas primeiras equações são idênticas à parte da esquerda mas têm termos independentes e . Portanto, para consistência é necessário .
  • Se , e há infinitas soluções.
  • Se , e não existe solução.

Passo 6

Para temos
e de novo as duas primeiras linhas coincidem à esquerda com constantes e . Logo a conclusão é idêntica ao caso :
  • Se , há posto e infinitas soluções.
  • Se , o sistema é impossível.

Resposta

Para todo hneq0,1 o sistema tem solução única (pois det Aneq0), independentemente de k.
Para h=0 ou h=1:
  • se k=0, o sistema tem infinitas soluções;
  • se kneq0, o sistema não tem solução.

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