Exercício 3.10.23. Calcular o posto da matriz
(cc 1 & 0 3 & -1 4 & 1 0 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede o posto da matriz
A = 1 & 0 3 & -1 4 & 1 0 & 1
O posto de uma matriz é a dimensão do seu espaço de colunas (ou de linhas), ou seja, o número máximo de colunas linearmente independentes. Para encontrar esse valor, podemos usar dois argumentos principais: determinar um limite superior pelo número de colunas e um limite inferior testando se algum menor de ordem máxima é não nulo.

Passo 2

Como A tem apenas duas colunas, o posto satisfaz
rank(A)<= 2
Portanto, só resta verificar se essas duas colunas são de fato independentes, o que nos daria rank(A)=2, ou se há alguma relação linear não trivial entre elas, caindo para posto 1.

Passo 3

Para testar a independência, basta encontrar um menor de ordem 2 não nulo. Por exemplo, considere o menor formado pelas duas primeiras linhas e duas colunas:
det 1 & 0 3 & -1 =1cdot(-1)-0cdot3=-1neq 0
Como esse determinante é diferente de zero, as duas colunas correspondentes são linearmente independentes, o que implica
rank(A)>= 2

Passo 4

Combinando os resultados, temos
2<= rank(A)<= 2,
logo rank(A)=2.

Resposta

O posto da matriz é 2.

Exercícios relacionados