Exercício 3.10.24. Calcular o posto da matriz
(ccc 1 & -1 & 0 3 & 4 & 1 2 & 5 & 1 )

Passo 1

O enunciado pede o posto da matriz
A = 1 & -1 & 0 3 & 4 & 1 2 & 5 & 1
O conteúdo é cálculo de posto usando determinante e menores.

Passo 2

Para verificar se rank(A)=3, calculamos o determinante det(A) por expansão por cofactores na primeira linha:
det(A) = 1 cdot det!4 & 1 5 & 1 -(-1)cdot det!3 & 1 2 & 1 + 0 cdot det!3 & 4 2 & 5

Passo 3

Calculamos os determinantes 2times 2:
det!4 & 1 5 & 1 =4cdot1 - 5cdot1 = -1, det!3 & 1 2 & 1 =3cdot1 - 2cdot1 = 1
Logo
det(A) = 1cdot(-1) + 1cdot1 + 0 = 0,
portanto rank(A)<3.

Passo 4

Para mostrar que rank(A)>=2, basta achar um menor de ordem 2 não nulo. Considere o menor pelas linhas 1 e 2 e colunas 1 e 2:
det!1 & -1 3 & 4 =1cdot4 - (-1)cdot3 = 7 neq 0
Isso garante rank(A)>=2.

Passo 5

Como rank(A)<3 e rank(A)>=2, concluímos
rank(A)=2

Resposta

rank(A)=2

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