Exercício 3.10.27. Ao variar do parâmetro real , determinar o posto da matriz
Passo 1
O enunciado dá a matriz de linhas 3 e colunas 4, dependente do parâmetro real k:
M = k & -k & 0 & 1 [6pt] 1 & -2 & -1 & 0 [6pt] 0 & 1 & k & 1
Queremos o posto de M conforme k. Vamos usar definições de posto via menores: se algum menor 3times3 for não nulo, então rank(M)=3. Caso contrário, verificamos menores 2times2 para decidir se o posto é 2 ou menor.]
Passo 2
Escolhemos o menor 3times3 formado pelas colunas 1, 2 e 3. Denotando
D(k) = det k & -k & 0 [3pt] 1 & -2 & -1 [3pt] 0 & 1 & k ,
calculamos por expansão na primeira linha:
D(k) = kdet-2 & -1 [2pt]1 & k -(-k)det1 & -1 [2pt]0 & k = kl(-2k+1r) + kl(kr) = -2k^2 + k + k^2 = k(1-k)
Logo, se k(1-k)neq0, ou seja kneq0 e kneq1, então D(k)neq0 e rank(M)=3.]
Testando todos os menores 3times3 (colunas 1,2,3; 1,2,4; 1,3,4; 2,3,4) confirma-se que são zero. Então rank(M)<3. Basta ver um menor 2times2 não nulo, por exemplo colunas 1,2 e linhas 1,2:
det 1 & -1 [2pt] 1 & -2 =1cdot(-2)-1cdot(-1)=-2+1=-1neq0,