Exercício 3.10.27. Ao variar do parâmetro real k, determinar o posto da matriz
(cccc k & -k & 0 & 1 1 & -2 & -1 & 0 0 & 1 & k & 1 )

Passo 1

O enunciado dá a matriz de linhas 3 e colunas 4, dependente do parâmetro real k:
M = k & -k & 0 & 1 [6pt] 1 & -2 & -1 & 0 [6pt] 0 & 1 & k & 1
Queremos o posto de M conforme k. Vamos usar definições de posto via menores: se algum menor 3times3 for não nulo, então rank(M)=3. Caso contrário, verificamos menores 2times2 para decidir se o posto é 2 ou menor.]

Passo 2

Escolhemos o menor 3times3 formado pelas colunas 1, 2 e 3. Denotando
D(k) = det k & -k & 0 [3pt] 1 & -2 & -1 [3pt] 0 & 1 & k ,
calculamos por expansão na primeira linha:
D(k) = kdet-2 & -1 [2pt]1 & k -(-k)det1 & -1 [2pt]0 & k = kl(-2k+1r) + kl(kr) = -2k^2 + k + k^2 = k(1-k)
Logo, se k(1-k)neq0, ou seja kneq0 e kneq1, então D(k)neq0 e rank(M)=3.]

Passo 3

Falta checar os casos k=0 e k=1 em que D(k)=0.
Para k=0 a matriz fica
M|k=0 = 0 & 0 & 0 & 1 [3pt] 1 & -2 & -1 & 0 [3pt] 0 & 1 & 0 & 1
Embora o menor colunas 1,2,3 seja zero, podemos olhar outro menor 3times3, por exemplo formado pelas colunas 2,3,4:
det 0 & 0 & 1 [2pt] -2 & -1 & 0 [2pt] 1 & 0 & 1 = 0cdotdet-1&0[2pt]0&1 -0cdotdet-2&0[2pt]1&1 +1cdotdet-2&-1[2pt]1&0 =(-2)cdot0 -(-1)cdot1 =1neq0
Como existe um menor 3times3 não nulo, temos rank(M)=3 também em k=0.]

Passo 4

Para k=1 a matriz é
M|k=1 = 1 & -1 & 0 & 1 [3pt] 1 & -2 & -1 & 0 [3pt] 0 & 1 & 1 & 1
Testando todos os menores 3times3 (colunas 1,2,3; 1,2,4; 1,3,4; 2,3,4) confirma-se que são zero. Então rank(M)<3. Basta ver um menor 2times2 não nulo, por exemplo colunas 1,2 e linhas 1,2:
det 1 & -1 [2pt] 1 & -2 =1cdot(-2)-1cdot(-1)=-2+1=-1neq0,
logo rank(M)=2 em k=1.]

Resposta

Para todo kneq1, rank(M)=3.
Para k=1, rank(M)=2.

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