Exercício 3.10.26. Ao variar do parâmetro real , determinar o posto da matriz
Passo 1
O enunciado pede o posto da matriz
A(k)= k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k
quando k varia em R. O conteúdo usado será definição de determinante em função de k, critério de posto via determinante e estudo de casos em k que anulem esse determinante.
Passo 2
Vamos calcular det A(k) por operações elementares. Subtraindo a primeira linha das outras duas, obtemos uma matriz equivalente
k & 1 & 1 1-k & k-1 & 0 1-k & 0 & k-1
Agora expandimos pelo método de Laplace em relação à primeira linha:
det A(k) = k,(k-1)(k-1) ;-;1l((1-k)(k-1)-0cdot(1-k)r) ;+;1l((1-k)cdot0-(k-1)(1-k)r)
Como (1-k)(k-1)=-(k-1)^2, simplifica-se para
det A(k) = k,(k-1)^2 ;-;[-(k-1)^2];-;[-(k-1)^2] = (k+2),(k-1)^2
Passo 3
Pelo critério de posto:
Se det A(k)neq0, isto é, kneq1 e kneq-2, então posto(A)=3.
Se det A(k)=0, devemos estudar separadamente.
Passo 4
Caso k=1.
A(1)= 1&1&1 1&1&1 1&1&1
todas as linhas são iguais, logo há apenas uma linha linearmente independente. Portanto
postol(A(1)r)=1
Passo 5
Caso k=-2.
A(-2)= -2&1&1 1&-2&1 1&1&-2
Note que a soma das três linhas é zero, gerando uma única dependência linear. Além disso, por exemplo, o menor de ordem 2 obtido das duas primeiras linhas e colunas vale det-2&11&-2=3neq0,
logo existem duas linhas independentes. Assim
postol(A(-2)r)=2
Resposta
Para a matriz A(k):
- posto(A)=3 se kneq1 e kneq-2.
- posto(A)=2 se k=-2.
- posto(A)=1 se k=1.