Exercício 3.10.28. Ao variar do parâmetro real , determinar o posto da matriz
Passo 1
Resumindo, temos a família de matrizes
M(a)= a & 1 & 0 2 & a+1 & 3 0 & 3 & a
e queremos determinar o posto de M(a) em função do parâmetro real a. Para isso vamos usar a definição de posto via determinante (para ver se é invertível, ou seja, posto 3) e, quando o determinante for zero, examinaremos menores de ordem 2 para ver se o posto cai a 2 ou abaixo.
Passo 2
Vamos calcular o determinante de M(a) desenvolvendo pela primeira linha. Temos
Nesses valores de a a matriz é invertível, logo o posto é 3.
Passo 4
Quando det(M(a))=0, isto é, para
ainl0,;tfrac-1+3raiz52,;tfrac-1-3raiz52r,
o posto de M(a) é menor que 3. Para ver se cai a 2 ou abaixo, basta achar algum menor 2times2 não nulo. Por exemplo, o menor obtido removendo a primeira linha e a segunda coluna é
det2&30&a =2a
Se a=0, esse menor vale 0, mas podemos usar o menor removendo primeira linha e primeira coluna: deta+1&33&a=a^2+a-9, que para a=0 é -9neq0.
Se a=tfrac-1pm3raiz52, então 2aneq0.
Em todos os casos há algum menor de ordem 2 não nulo, logo o posto é exatamente 2.