Exercício 3.10.28. Ao variar do parâmetro real a, determinar o posto da matriz
(ccc a & 1 & 0 2 & a+1 & 3 0 & 3 & a )

Passo 1

Resumindo, temos a família de matrizes
M(a)= a & 1 & 0 2 & a+1 & 3 0 & 3 & a
e queremos determinar o posto de M(a) em função do parâmetro real a. Para isso vamos usar a definição de posto via determinante (para ver se é invertível, ou seja, posto 3) e, quando o determinante for zero, examinaremos menores de ordem 2 para ver se o posto cai a 2 ou abaixo.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de M(a) desenvolvendo pela primeira linha. Temos
det(M(a)) = adet!a+1&33&a -1det!2&30&a +0cdot(dots)
Esses menores valem (a+1)a-3cdot3=a^2+a-9 e 2a-0=2a. Logo
det(M(a)) = a,(a^2+a-9);-;2a = a^3+a^2-11a = al(a^2+a-11r)

Passo 3

Da expressão
det(M(a))=al(a^2+a-11r),
vemos que det(M(a))neq0 sempre que
aneq0, aneq-1+3raiz52, aneq-1-3raiz52
Nesses valores de a a matriz é invertível, logo o posto é 3.

Passo 4

Quando det(M(a))=0, isto é, para
ainl0,;tfrac-1+3raiz52,;tfrac-1-3raiz52r,
o posto de M(a) é menor que 3. Para ver se cai a 2 ou abaixo, basta achar algum menor 2times2 não nulo. Por exemplo, o menor obtido removendo a primeira linha e a segunda coluna é
det2&30&a =2a
  • Se a=0, esse menor vale 0, mas podemos usar o menor removendo primeira linha e primeira coluna:
    deta+1&33&a=a^2+a-9, que para a=0 é -9neq0.
  • Se a=tfrac-1pm3raiz52, então 2aneq0.
Em todos os casos há algum menor de ordem 2 não nulo, logo o posto é exatamente 2.

Resposta

Para
aneq0,;-1+3raiz52,;-1-3raiz52
temos rank(M(a))=3.
Para
ainl0,;tfrac-1+3raiz52,;tfrac-1-3raiz52r
temos rank(M(a))=2.

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