Exercício 10 (D.L.5.29)
Mostre que o sistema não-linear
em
, tem um único ponto de equilíbrio e uma única órbita periódica. Estude a estabilidade do ponto de equilíbrio.
Mostre que o sistema não-linear
Passo 1
O enunciado dá o sistema não-linear em
Queremos mostrar que há exatamente um ponto de equilíbrio, exatamente uma órbita periódica e estudar a estabilidade do equilíbrio. Para isso, vamos usar coordenadas polares e analisar a parte radial do sistema.
Passo 2
Procuramos pontos de equilíbrio
com , somando
vezes a primeira equação com
vezes a segunda, obtemos
Mas para esse
, as duas equações não se anulam simultaneamente (o vetor resultante não é zero). Logo a única solução é
, ou seja, o único equilíbrio é
Passo 3
Passamos a coordenadas polares
Calculamos
Temos então o sistema radial
Passo 4
Órbitas periódicas correspondem a soluções com
constante e
variando. Da equação
vêm as raízes
Passo 5
Analisamos a estabilidade via sinal de
:
- Se
, então e , o que faz . Logo o equilíbrio em é atraente (na verdade é um foco estável, já que linearizando dá autovalores ). - Se
, então e , ou seja, as órbitas saem de para . Se , faz as órbitas irem para o equilíbrio. Logo a órbita é instável (repelente).
Resposta
O único ponto de equilíbrio é
, que é um foco estável, e há exatamente uma órbita periódica no círculo de raio
, esta órbita sendo instável.