Exercício 10 (D.L.5.29)
Mostre que o sistema não-linear
c x1^prime=-2 x1-x2+x1 e^x1^2+x2^2 x2^prime=x1-2 x2+x2 e^x1^2+x2^2
em R^2, tem um único ponto de equilíbrio e uma única órbita periódica. Estude a estabilidade do ponto de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá o sistema não-linear em R^2
x1'=-2x1-x2+x1e^x1^2+x2^2, x2'=x1-2x2+x2e^x1^2+x2^2
Queremos mostrar que há exatamente um ponto de equilíbrio, exatamente uma órbita periódica e estudar a estabilidade do equilíbrio. Para isso, vamos usar coordenadas polares e analisar a parte radial do sistema.

Passo 2

Procuramos pontos de equilíbrio
com , somando vezes a primeira equação com vezes a segunda, obtemos
Mas para esse , as duas equações não se anulam simultaneamente (o vetor resultante não é zero). Logo a única solução é , ou seja, o único equilíbrio é

Passo 3

Passamos a coordenadas polares
x1=rcostheta, x2=rsintheta
Calculamos
dot r=x1x1'+x2x2'r =r^2(e^r^2-2)r =rl(e^r^2-2r),
dottheta=x1x2'-x2x1'r^2 =r^2r^2 =1
Temos então o sistema radial
dot r=rl(e^r^2-2r), dottheta=1

Passo 4

Órbitas periódicas correspondem a soluções com r(t) constante e theta(t) variando. Da equação dot r=0 vêm as raízes
r=0 ou e^r^2-2=0;Longrightarrow;r^2=ln2;Longrightarrow;r=raizln2
r=0 é o equilíbrio já identificado. Para r=raizln2 temos dot r=0 e dottheta=1neq0, ou seja, a curva r=raizln2 é uma órbita periódica (período 2pi). Como e^r^2-2 muda de sinal apenas nessas raízes, existe exatamente uma órbita periódica não trivial.

Passo 5

Analisamos a estabilidade via sinal de dot r:
  • Se 0<r<raizln2, então e^r^2<2 e dot r<0, o que faz r(t)to0. Logo o equilíbrio em (0,0) é atraente (na verdade é um foco estável, já que linearizando dá autovalores -1pm i).
  • Se r>raizln2, então e^r^2>2 e dot r>0, ou seja, as órbitas saem de r=raizln2 para rto+infty. Se r<raizln2, dot r<0 faz as órbitas irem para o equilíbrio. Logo a órbita r=raizln2 é instável (repelente).

Resposta

O único ponto de equilíbrio é (0,0), que é um foco estável, e há exatamente uma órbita periódica no círculo de raio r=raizln2, esta órbita sendo instável.

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