Exercício 9 (D.L.5.33)
Usando uma função de Liapunov, mostre que a origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para o sistema não-linear
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a origem é um equilíbrio assintoticamente estável do sistema não\‐linear
usando uma função de Liapunov. Vamos escolher uma função simples e verificar que ela é positiva definida e que sua derivada ao longo das soluções é negativa definida numa vizinhança da origem.
Passo 2
Escolhemos
Claramente
e
para
. Além disso
quando
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
ao longo das soluções:
Logo
Passo 4
Para mostrar que
é negativa, note que numa bola
temos
. Assim
Então, para
,
Passo 5
Ainda em
, tem-se
. Logo
Isso mostra que
é negativa definida numa vizinhança da origem.
Resposta
Como
é positiva definida e decresce estritamente ao longo de todas as trajetórias próximas da origem, pelo teorema de Liapunov a origem é ponto de equilíbrio assintoticamente estável.