Exercício 9 (D.L.5.33)

Usando uma função de Liapunov, mostre que a origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para o sistema não-linear
c x1^prime=-x1-13 x1^3-x1^2 sen(x2) x2^prime=-x2-13 x2^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a origem é um equilíbrio assintoticamente estável do sistema não\‐linear
x1^prime=-x1-tfrac13x1^3-x1^2sin(x2), x2^prime=-x2-tfrac13x2^3,
usando uma função de Liapunov. Vamos escolher uma função simples e verificar que ela é positiva definida e que sua derivada ao longo das soluções é negativa definida numa vizinhança da origem.

Passo 2

Escolhemos
V(x1,x2)=tfrac12,x1^2+tfrac12,x2^2
Claramente V(0,0)=0 e V(x1,x2)>0 para (x1,x2)neq(0,0). Além disso Vtoinfty quando |(x1,x2)|toinfty.

Passo 3

Calculamos a derivada de V ao longo das soluções:
dot V =x1,x1^prime+x2,x2^prime =x1l(-x1-tfrac13x1^3-x1^2sin x2r) +x2l(-x2-tfrac13x2^3r)
Logo
dot V =-x1^2-tfrac13x1^4-x1^3sin x2 ;-;x2^2-tfrac13x2^4

Passo 4

Para mostrar que dot V é negativa, note que numa bola |(x1,x2)|<=1 temos |x2|<=1implies|sin x2|<=|x2|. Assim
-x1^3sin x2<=|x1|^3|x2| <=|x1|^3cdot1 =|x1|^3
Então, para |(x1,x2)|<=1,
dot V <= -x1^2-x2^2-tfrac13(x1^4+x2^4)+|x1|^3 <= -x1^2-x2^2+|x1|^3

Passo 5

Ainda em |(x1,x2)|<=1, tem-se |x1|<=1implies|x1|^3<=|x1|^2. Logo
dot V<= -x1^2-x2^2+x1^2 =-x2^2,<0 sempre que (x1,x2)neq(0,0)
Isso mostra que dot V é negativa definida numa vizinhança da origem.

Resposta

Como V é positiva definida e decresce estritamente ao longo de todas as trajetórias próximas da origem, pelo teorema de Liapunov a origem é ponto de equilíbrio assintoticamente estável.

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