Exercício 3.10.29. Ao variar do parâmetro real a, determinar o posto da matriz
(lll a & a & 3 1 & 0 & 1 1 & 1 & a )

Passo 1

O enunciado pede o posto da matriz
M= a & a & 3 1 & 0 & 1 1 & 1 & a
em função do parâmetro real a. Vamos usar o critério de posto via determinante (para posto máximo igual a 3) e, se necessário, examinar menores de ordem 2.

Passo 2

Calculamos o determinante de M por expansão na primeira linha:
det M = a 0 & 1 1 & a - a 1 & 1 1 & a + 3 1 & 0 1 & 1
Cada menor vale
0 & 1 1 & a = -1, 1 & 1 1 & a = a-1, 1 & 0 1 & 1 =1
Logo
det M = acdot(-1) - a,(a-1) + 3cdot1 = -a -a^2 + a +3 = 3 - a^2

Passo 3

O valor de det M não é nulo sempre que 3 - a^2 neq 0, isto é, para
a neq pmraiz3
Nesse caso det Mneq0, então o posto de M é 3.

Passo 4

Para a = pmraiz3 temos det M=0, portanto rank(M)<=2. Basta mostrar que existe algum menor de ordem 2 não nulo para garantir posto igual a 2. Por exemplo, o menor formado pelas linhas 2 e 3 e colunas 1 e 2 é
1 & 0 1 & 1 =1neq0
para qualquer a. Logo, quando a=pmraiz3, rank(M)=2.

Resposta

Para aneqpmraiz3 o posto é 3.
Para a=pmraiz3 o posto é 2.

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